Đề bài

Cho tổng \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n(n + 1)}}\). a) Tính \({S_1},{S_2},{S_3}.\) b) Dự đoán công thức tính tổng \({S_n}\) và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải chi tiết

a) \(\begin{array}{l}{S_1} = \frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{2}\\{S_2} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} = \frac{2}{3}\\{S_3} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = \frac{3}{4}\end{array}\) b) Dự đoán \({S_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) (6) Ta chứng minh (6) bằng phương pháp quy nạp Với \(n = 1\) ta có \({S_1} = \frac{1}{2}\) Vậy (6) đúng với \(n = 1\) Giải sử (5) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({S_k} = \frac{k}{{k + 1}}\) Ta chứng minh (3) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}}\) Thật vậy, ta có \(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{k(k + 1)}} + \frac{1}{{(k + 1)(k + 2)}}\\ = \frac{k}{{k + 1}} + \frac{1}{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{{k(k + 2) + 1}}{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{{{k^2} + 2k + 1}}{{(k + 1)(k + 2)}}\\ = \frac{{{{(k + 1)}^2}}}{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}}\end{array}\) Vậy (6) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).