Đề bài

Tìm các số tự nhiên a và b (a < b), biết:

a) ƯCLN(a, b) = 15 và BCNN(a, b) = 180;

b) ƯCLN(a, b) = 11 và BCNN(a, b) = 484.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ab = ƯCLN(a, b). BCNN(a, b) = 15. 180 = 2 700.Vì ƯCLN(a, b) = 15 nên a ⁝ 15, b ⁝ 15, ta giả sử a = 15. m, b = 15. n. Do a < b nên m < n; m, n ∈ N* và ƯCLN(m, n) = 1.Ta có: ab = 2 70015. m. 15. n = 2 700m. n. 225 = 2 700        m. n = 2 700: 225        m. n = 12 = 1. 12 = 2. 6 = 3. 4Vì m < n; m, n ∈ N* và ƯCLN(m, n) = 1 nên ta có:(m; n) ∈{(1; 12); (3; 4)}+) Với (m; n) = (1; 12) thì a = 1. 15 = 15; b = 12. 15 = 180.+) Với (m; n) = (3; 4) thì a = 3. 15 = 45; b = 4. 15 = 60.Vậy các cặp (a; b) thỏa mãn là (15; 180); (45; 60).b) Ta có: ab = ƯCLN(a, b). BCNN(a, b) = 11. 484 = 5 324.Vì ƯCLN(a, b) = 11 nên  , ta giả sử a = 11. m, b = 11. n. Do a < b nên m < n; m, n ∈ N*  và ƯCLN(m, n) = 1.Ta có: ab = 5 32411. m. 11. n = 5 324m. n. 121 = 5 324        m. n = 5 324: 121        m. n = 44 = 1. 44 = 4. 11 Vì m < n; m, n ∈ N*  và ƯCLN(m, n) = 1 nên ta có:(m; n) ∈{(1; 44); (4; 11)}+) Với (m; n) = (1; 44) thì a = 1. 11 = 11; b = 44. 11 = 484.+) Với (m; n) = (4; 11) thì a = 4. 11 = 44; b = 11. 11 = 121. Vậy các cặp (a; b) thỏa mãn là (11; 484); (44; 121).

 Lời giải hay