Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3; - 1;m} \right)\) và \(B\left( {m;4;m} \right)\). a) Tính côsin của góc \(\widehat {AOB}\) theo \(m\). b) Xác định tất cả các giá trị của \(m\) để \(\widehat {AOB}\) là góc nhọn.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\overrightarrow {OA}  = \left( {3; - 1;m} \right)\) và \(\overrightarrow {OB}  = \left( {m;4;m} \right)\). Mặt khác \(\widehat {AOB} = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\), suy ra \(\cos in\widehat {AOB} = \cos in\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\)\( = \frac{{\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OB} } \right|}}\) \( = \frac{{{m^2} + 3m - 4}}{{\sqrt {10 + {m^2}} \sqrt {2{m^2} + 16} }}\). b) Để \(\widehat {AOB}\) là góc nhọn thì \(\cos in\widehat {AOB} > 0\), suy ra \(\frac{{{m^2} + 3m - 4}}{{\sqrt {10 + {m^2}} \sqrt {2{m^2} + 16} }} > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 3m - 4 > 0 \Leftrightarrow m <  - 4\) hoặc \(m > 1\).