Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {3;5;2} \right)\), \(B\left( {0;6;2} \right)\) và \(C\left( {2;3;6} \right)\). Hãy giải tam giác \(ABC\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 2;4} \right)\) suy ra \(AB = \sqrt {9 + 1}  = \sqrt {10} \) và \(AC = \sqrt {1 + 4 + 16}  = \sqrt {21} \). \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{3 - 2}}{{\sqrt {10}  \cdot \sqrt {21} }} = \frac{1}{{\sqrt {210} }}\). Suy ra \(\widehat {BAC} \approx {86,04^ \circ }\). Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {BA}  = \left( {3; - 1;0} \right)\) suy ra \(BC = \sqrt {4 + 9 + 16}  = \sqrt {29} \) và \(AB = \sqrt {10} \). \(\cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC} }}{{AB \cdot BC}} = \frac{{6 + 3}}{{\sqrt {10}  \cdot \sqrt {29} }} = \frac{9}{{\sqrt {290} }}\). Suy ra \(\widehat {ABC} \approx {58,096^ \circ }\). Do đó \(\widehat {BCA} \approx {39,92^ \circ }\). Vậy tam giác \(ABC\) có các cạnh là \(AB = \sqrt {10} \), \(BC = \sqrt {29} \), \(AC = \sqrt {21} \);  các góc là \(\widehat {BAC} \approx {86,04^ \circ }\), \(\widehat {ABC} \approx {54,04^ \circ }\), \(\widehat {BCA} \approx {35,864^ \circ }\).