Đề bài

Rút gọn biểu thức sau theo hai cách (sử dụng và không sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng): \(\frac{{x + 1}}{x}.\left( {{x^2} - x + 1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}} \right)\).

Lời giải chi tiết

Cách 1:\(\begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{x}.\left( {{x^2} - x + 1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}} \right)\\ = \frac{{x + 1}}{x}.\left( {\frac{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} - \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} + \frac{{x + 1}}{{x + 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}} \right)\\ = \frac{{x + 1}}{x}.\left( {\frac{{{x^3} + {x^2} - {x^2} - x + x + 1 - {x^2}}}{{x + 1}}} \right)\\ = \frac{{x + 1}}{x}.\left( {\frac{{{x^3} - {x^2} + 1}}{{x + 1}}} \right) = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} - {x^2} + 1} \right)}}{{x.\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^3} - {x^2} + 1}}{x}\end{array}\)Cách 2:\(\begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{x}.\left( {{x^2} - x + 1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}} \right)\\ = \frac{{x + 1}}{x}.{x^2} - \frac{{x + 1}}{x}.x + \frac{{x + 1}}{x} - \frac{{x + 1}}{x}.\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\\ = x\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right) + \frac{{x + 1}}{x} - x\\ = {x^2} + x - x - 1 + \frac{{x + 1}}{x} - x\\ = {x^2} - 1 - x + \frac{{x + 1}}{x}\\ = \frac{{{x^3} - x - {x^2} + x + 1}}{x} = \frac{{{x^3} - {x^2} + 1}}{x}\end{array}\)