Đề bài

Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi sản phẩm yêu cầu sử dụng ba máy. Máy đầu tiên có thể được sử dụng nhiều nhất là 70 giờ, máy thứ hai nhiều nhất là 40 giờ và máy thứ ba nhiều nhất là 90 giờ. Sản phẩm thứ nhất cần 2 giờ trên máy 1, 1 giờ trên máy II và 1 giờ trên máy III; sản phẩm thứ hai cần 1 giờ cho mỗi máy I, II và 3 giờ trên máy III. Nếu lợi nhuận là 400 nghìn đồng/đơn vị cho sản phẩm thứ nhất và 600 nghìn đồng/đơn vị cho sản phẩm thứ hai, thì cần sản xuất bao nhiều đơn vị mỗi sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm thứ nhất và sản phẩm thứ hai cần sản xuất. Lợi nhuận thu được là: 400x + 600y (nghìn đồng). Ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,y \ge 0\\2x + y \le 70\\x + y \le 40\\x + 3y \le 90\end{array} \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền ngũ giác OABCD được tô màu như hình vẽ dưới đây:

Các điểm cực biên là: O(0; 0), A(0; 30), B(15; 25), C(30; 10), D(35; 0). Ta có: \(F(0;0) = 0,F(0,30) = 18000;F(15;25) = 21000;F(30;10) = 18000;F(35;0) = 14000\) Vậy lợi nhuận thu được lớn nhất là 21 000 nghìn đồng khi x = 15 và y = 25, tức là cần sản xuất 15 sản phẩm thứ nhất và 25 sản phẩm thứ hai.