Đề bài

Cho hai tam giác đều ABC và AB’C’ như Hình 9. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’. Chứng minh ∆AMN đều.

Lời giải chi tiết

Do DABC là tam giác đều nên \(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}AC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)Do DAB’C’ là tam giác đều nên \(AB'{\rm{ }} = {\rm{ }}AC'\) và \(\widehat {{\rm{B'}}AC'} = 60^\circ \)Ta có phép quay tâm A, góc quay 60° biến:⦁ Điểm B thành điểm C;⦁ Điểm B’ thành điểm C’.Do đó ảnh của đoạn thẳng BB’ qua phép quay tâm A, góc quay 60° là đoạn thẳng CC’.Mà M, N lần lượt là trung điểm của BB’, CC’ (giả thiết).Do đó phép quay tâm A, góc quay 60° biến điểm M thành điểm N.Suy ra \(AM{\rm{ }} = {\rm{ }}AN\)  và \(\widehat {MAN} = \left( {AM,AN} \right) = 60^\circ \)DAMN có \(AM{\rm{ }} = {\rm{ }}AN\) và \(\widehat {MAN} = 60^\circ \) ° nên là tam giác đều.Vậy ∆AMN đều.