Đề bài

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + z = 3\\ - y + z = 2\\y + 2z = 1\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y - 4z = 3\\4x + 6y - z = 17\\x + 2y = 5\end{array} \right.\) c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\\3x - y - z = 4\\x + 5y + 5z =  - 1\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + z = 3\quad (1)\\ - y + z = 2\quad \quad (2)\\y + 2z = 1\quad \quad (3)\end{array} \right.\)Cộng vế với vế của phương trình (2) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + z = 3\quad (1)\\ - y + z = 2\quad \quad (2)\\3z = 3\quad \quad \quad (3.1)\end{array} \right.\)Từ phương trình (3.1) ta có \(z = 1\)Thay \(z = 1\) vào phương trình (2) ta được \(y =  - 1\)Thay \(y =  - 1\) và \(z = 1\) vào phương trình (1) ta được \(x = 0\)Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {0; - 1;1} \right)\)b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y - 4z = 3\quad (1)\\4x + 6y - z = 17\quad (2)\\x + 2y = 5\quad \quad \quad \;\;(3)\end{array} \right.\)Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (2) và (3) ta được hệ:\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 4z = 8\quad \quad \quad (1.1)\\4x + 6y - z = 17\quad (2)\\x + 2y = 5\quad \quad \quad \;\;(3)\end{array} \right.\)Nhân hai vế của phương trình (1.1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 4z = 8\quad \quad (1.1)\\6y + 3z = 9\quad \quad (2)\\x + 2y = 5\quad \;\;(3)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - z = 2\quad \quad (1.1)\\2y + z = 3\quad \quad (2)\\x + 2y = 5\quad \;\;(3)\end{array} \right.\)Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:\(\left\{ \begin{array}{l}x - z = 2\quad \quad (1.1)\\x + 2y = 5\quad \;\;(2.1)\\x + 2y = 5\quad \;\;(3)\end{array} \right.\)Hai phương trình (2.1) và (3) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:\(\left\{ \begin{array}{l}x - z = 2\quad \quad (1.1)\\x + 2y = 5\quad \;\;(2.1)\end{array} \right.\)Từ phương trình (1.1), ta có \(x = z + 2\), thay vào phương trình (2.1) ta được \(z =  - 2y + 3\), từ đó suy ra \(x =  - 2y + 5\)Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( - 2y + 5;y; - 2y + 3)\) với \(y \in \mathbb{R}\).  c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\quad (1)\\3x - y - z = 4\quad (2)\\x + 5y + 5z =  - 1\quad (3)\end{array} \right.\)Nhân hai vế của phương trình (1) với -3, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\quad (1)\\ - 4y - 4z = 1\quad (2.1)\\x + 5y + 5z =  - 1\quad (3)\end{array} \right.\)Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\quad (1)\\ - 4y - 4z = 1\quad (2.1)\\4y + 4z =  - 2\quad (3.1)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\quad (1)\\4y + 4z =  - 1\quad (2.1)\\4y + 4z =  - 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)Từ phương trình (2.1) và (3.1) suy ra -1 = -2 (Vô lí)Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.