Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\); I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD. a) Chứng minh rằng MN//BC. b) Tứ giác MNJI là hình gì. Tìm điều kiện để tứ giác MNJI là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) nên MN//BC (định lí Thalès đảo) b) Vì I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD. Do đó, IJ//BC Mà MN//BC nên IJ//MN, do đó, MNJI là hình thang. Hình thang MNJI là hình bình hành khi và chỉ khi MI//NJ//AD. Mà I là trung điểm của BD. Do đó, MI là đường trung bình của tam giác ADB. Suy ra M là trung điểm của AB.