Đề bài

Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.

Lời giải chi tiết

• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.Ta có \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( M \right)\;,\,N'{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( N \right).\)Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.Suy ra \(\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {{\rm{M'H}}}  = \vec 0;\,\,\overrightarrow {KN}  + \overrightarrow {KN'}  = \vec 0\)Ta có:\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {{\rm{M'N'}}}  = \left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {HK}  + \overrightarrow {KN} } \right) + \left( {\overrightarrow {{\rm{M'H}}}  + \overrightarrow {HK}  + \overrightarrow {KN'} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {{\rm{M'H}}} } \right) + \left( {\overrightarrow {KN}  + \overrightarrow {KN'} } \right) + 2\overrightarrow {HK} \end{array}\)\( = \vec 0 + \vec 0 + 2\overrightarrow {HK} \) (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)\( = 2\overrightarrow {HK} \) \(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  - \overrightarrow {{\rm{M'N'}}}  = \left( {\overrightarrow {HN}  - \overrightarrow {HM} } \right) - \left( {\overrightarrow {HN'}  - \overrightarrow {HM'} } \right)\\ = \overrightarrow {HN}  - \overrightarrow {HM}  - \overrightarrow {HN'}  + \overrightarrow {HM'}  = \left( {\overrightarrow {HN}  - \overrightarrow {HN'} } \right) + \left( {\overrightarrow {HM'}  - \overrightarrow {HM} } \right) = \overrightarrow {{\rm{N'N}}}  + \overrightarrow {MM'} \end{array}\)Khi đó \(\begin{array}{l}{\overrightarrow {MN} ^2} - {\overrightarrow {{\rm{M'N'}}} ^2} = \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} } \right)\left( {\overrightarrow {MN}  - \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} } \right)\\ = 2\overrightarrow {HK} \left( {\overrightarrow {{\rm{N'N}}}  + \overrightarrow {MM'} } \right)\\ = 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {{\rm{N'N}}}  + 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {MM'}  = 2.0 + 2.0 = 0\end{array}\)(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên \(\overrightarrow {MM'}  \bot \overrightarrow {HK} ;\,\,\overrightarrow {NN'}  \bot \overrightarrow {HK} \))Suy ra \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {{\rm{M'N'}}} ^2}\)Do đó \(MN{\rm{ }} = {\rm{ }}M'N'{\rm{ }}\left( 2 \right)\)Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.Vậy f là một phép dời hình.