Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\Delta \): x + 2y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với \(\Delta \) qua trục Ox.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d đối xứng với ∆ qua trục Ox hay d là ảnh của ∆ qua phép đối xứng trục Ox.

Cách 1:

Lấy hai điểm A(1; 0) và B(– 1; 1) thuộc ∆.Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox.Khi đó A'(1; 0) và B'(– 1; – 1).Vì d là ảnh của đường thẳng ∆ qua phép đối xứng trục Ox nên A' và B' thuộc d.Ta có: \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( { - 2;\, - 1} \right)\) . Suy ra \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;\, - 2} \right)\)Vậy d có phương trình là 1(x – 1) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 1 = 0.

Cách 2:

Gọi \(M'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)\) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó x' = x và y' = – y.Ta có: \(M\; \in \;\Delta \; \Leftrightarrow \;x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\; \Leftrightarrow \;x'{\rm{ }} + {\rm{ }}2.\left( {-{\rm{ }}y'} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\; \Leftrightarrow \;x'{\rm{ }}-{\rm{ }}2y'{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\;\)Vậy  M' thuộc đường thẳng d có phương trình là x – 2y– 1 = 0.