Đề bài

Thấu kính hội tụ có thể cho ảnh thật hoặc ảnh ảo A’B’ của vật AB. Tìm phép vị tự biến AB thành A’B’ trong Hình 3 và Hình 4.

Lời giải chi tiết

⦁ Ta xét Hình 4a:Để tìm phép vị tự biến vật AB thành ảnh A’B’, ta tìm phép vị tự biến A, B lần lượt thành A’, B’.Ta có AA’ cắt BB’ tại O.Vì ba điểm O, A, A’ thẳng hàng và A, A’ nằm cùng phía đối với O.Suy ra \(\overrightarrow {OA'}  = k\overrightarrow {OA} \), với k > 0.Do đó \({V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A',{\rm{ }}OA'{\rm{ }} = {\rm{ }}k.OA.\)Vì vậy \(k = \frac{{OA'}}{{OA}}\)Xét \(\Delta \)OA’B’ và \(\Delta \)OAB, có:\(\widehat {AOB}\)  chung;\(\widehat {OA'B'} = \widehat {OAB} = 90^\circ \)Do đó \(\Delta OA'B'\) đồng dạng \(\Delta OAB\,\,(g.g)\)Suy ra \(\frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{{OA'}}{{OA}} = k\)Vì vậy \(OB' = {\rm{ }}k.OB.\)Mà ba điểm O, B, B’ thẳng hàng và B, B’ nằm cùng phía đối với O.Suy ra \(\overrightarrow {OB'}  = k\overrightarrow {OB} \)Do đó \({V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right){\rm{ }} = {\rm{ }}B'.\)Vậy phép vị tự tâm O, tỉ số \(k = \frac{{OA'}}{{OA}}\) biến vật AB thành ảnh A’B’.⦁ Ta xét Hình 4b:Để tìm phép vị tự biến vật AB thành ảnh A’B’, ta tìm phép vị tự biến A, B lần lượt thành A’, B’. Ta có AA’ cắt BB’ tại O.Vì ba điểm O, A, A’ thẳng hàng và A, A’ nằm khác phía đối với O.Suy ra \(\overrightarrow {OA'}  = k\overrightarrow {OA} \) với k < 0.Do đó \({V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) = A',{\rm{ }}OA' = \left| k \right|.OA.\)Vì vậy \(k =  - \frac{{OA'}}{{OA}}\)Xét \(\Delta \)OA’B’ và \(\Delta \)OAB, có:\(\widehat {A'OB'} = \widehat {AOB}\)  (đối đỉnh);\(\widehat {OA'B'} = \widehat {OAB} = 90^\circ \)Do đó \(\Delta OA'B'\) đồng dạng \(\Delta OAB\,(g.g)\)Suy ra \(\frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{{OA'}}{{OA}} = |k|\)Vì vậy \(\;OB'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.OB.\)Mà ba điểm O, B, B’ thẳng hàng và B, B’ nằm khác phía đối với O.Suy ra \(\overrightarrow {OB'}  = k\overrightarrow {OB} \)Do đó \({V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right) = B'.\)Vậy phép vị tự tâm O, tỉ số \(k =  - \frac{{OA'}}{{OA}}\) biến vật AB thành ảnh A’B’.