Đề bài

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\). Gọi \(G\), \(K\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\) và \(SAD\); \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(CD\). Chứng minh rằng \(GK\parallel MN\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\).Ta có \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\), nên suy ra \(G \in SP\) và \(\frac{{SG}}{{SP}} = \frac{2}{3}\).Chứng minh tương tự ta cũng có \(K \in SQ\) và \(\frac{{SK}}{{SQ}} = \frac{2}{3}\).Tam giác \(SPQ\) có \(\frac{{SG}}{{SP}} = \frac{{SK}}{{SQ}}\) nên theo định lí Thales ta có \(GK\parallel PQ\).Xét tam giác \(ABD\), ta có \(P\) là trung điểm của \(AB\), \(Q\) là trung điểm của \(AD\), nên \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\). Suy ra \(PQ\parallel BD\).Chứng minh tương tự ta cũng có \(MN\parallel BD\).Từ đó suy ra \(GK\parallel MN\). Bài toán được chứng minh.