Đề bài

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) \(y = {\sin ^3}x - \cot x;\)                        b) \(y = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}}\); c) \(y = \sin 2x + \cos x\);                               d) \(y = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(f(x) = {\sin ^3}x - \cot x;\) có tập xác định D

\(\forall x \in D\) ta có\(f( - x) = {\sin ^3}\left( { - x} \right) - \cot \left( { - x} \right) =  - {\sin ^3}x - ( - \cot x) =  - ({\sin ^3}x - \cot x) =  - f(x)\)Vậy hàm số đó là hàm số lẻ.

b) Hàm số \(y = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}}\) có tập xác định D

\(\forall x \in D\) ta có\(f( - x) = {\sin ^3}\left( { - x} \right) - \cot \left( { - x} \right) = \frac{{\cos \,( - x) + {{\tan }^2}( - x)}}{{\cos \,( - x)}} = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}} = f(x)\).Vậy hàm số đó là hàm số chẵn.

c) Hàm số \(y = \sin 2x + \cos x\) có tập xác định D\( = \mathbb{R}\).

\(\forall x \in D\) ta có\(\begin{array}{l}f( - x) = \sin \left( { - 2x} \right) + \cos \left( { - x} \right) =  - \sin 2x + \cos x \ne f(x)\\f( - x) \ne  - f(x)\end{array}\)Vậy hàm số đó là hàm số không chẵn không lẻ.

d) Hàm số \(f(x) = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)có tập xác định D\( = \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l}y = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x + \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right) - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right)\\\,\,\,\,\, = \sin \pi  - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) =  - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = \sin \left( {\pi  - \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right)} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = \cos 2x\end{array}\) \(\forall x \in D\) ta có\(f( - x) = \cos \left( { - 2x} \right) = \cos 2x = f(x)\)Vậy hàm số đó là hàm số chẵn.