Đề bài

Lập phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {1; - 2;4} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):x - y - 2 = 0,\left( R \right):y + z + 3 = 0\).

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\). Mặt phẳng \(\left( R \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0;1;1} \right)\). Vì \(\left( P \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right),\left( R \right)\) nên vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) vuông góc với cả \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \). Do đó, \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \( - 1\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y + 2} \right) + 1\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x - y + z - 5 = 0\).