Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE. a) Xác định ảnh của các điểm D và C quay phép quay tâm A với góc quay \(\varphi  = 60^\circ .\) b) Chứng minh rằng DC = BE. c) Chứng minh rằng số đo góc giữa hai đường thẳng DC và BE bằng 60°.

Lời giải chi tiết

a) + Vì tam giác ABD đều nên AD = AB và \(\widehat {DAB} = 60^\circ \).Phép quay với góc quay φ = 60° có chiều quay ngược chiều kim đồng hồ. Do đó, ảnh của điểm D phép quay tâm A với góc quay \(\varphi  = 60^\circ \) là điểm B.+ Vì tam giác ACE đều nên AC = AE và \(\widehat {CAE} = 60^\circ \).Do đó, ảnh của điểm C phép quay tâm A với góc quay \(\varphi  = 60^\circ \) là điểm E.b) Theo câu a) ta có B và E lần lượt là ảnh của D và C qua phép quay tâm A với góc quay \(\varphi  = 60^\circ \), suy ra DC = BE (phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì).c) Gọi O là giao điểm của DC và BE, I là giao điểm của AB và DC.Ta có phép quay tâm A với góc quay φ = 60° biến góc ADC thành góc ABE nên \(\widehat {ADC} = \widehat {ABE}\) hay \(\widehat {ADI} = \widehat {IBO}\).Mà \(\widehat {AID} = \widehat {BIO}\) (2 góc đối đỉnh), \(\widehat {ADI} + \widehat {AID} + \widehat {DAI} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác ADI) và \(\widehat {IBO} + \widehat {BIO} + \widehat {IOB} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác IBO). Từ đó suy ra  \(\widehat {DAI} = \widehat {IOB}\) hay \(\widehat {DOB} = \widehat {DAB} = 60^\circ \).Như vậy, số đo góc giữa hai đường thẳng DC và BE bằng 60°.