Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\) với \(a\) là số thực. Tìm \(a\) để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Lời giải chi tiết

Xét hiệu:\(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}} = \frac{{an + a + 2}}{{n + 2}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\)\( = \frac{{\left( {an + a + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} - \frac{{\left( {an + 2} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left[ {a{n^2} + \left( {2a + 2} \right)n + a + 2} \right] - \left[ {a{n^2} + \left( {2a + 2} \right)n + 4} \right]}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)\( = \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)Để dãy số tăng, ta cần \(H > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).Ta có: \(H > 0 \Leftrightarrow \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0 \Leftrightarrow a - 2 > 0 \Leftrightarrow a > 2\).Vậy với \(a > 2\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\) là dãy số tăng.