Đề bài

ꦿCho tam giác ABC không phải là tam giác vuông, có các đường cao BE, CF cắt nhau tại điểm H

💧a) Giả sử ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng ΔABE $\backsim $ ΔACF , từ đó suy ra ΔAEF $\backsim $ ΔABC

ꦍb) Cho biết AB = 10 cm, BC = 15 cm và BE = 8 cm. Tính EF 

Lời giải chi tiết

a) Khi tam giác ABC nhọn, ta có hình bên. Xét tam giác vuông ABE (vuông tại E) và tam giác vuông ACF (vuông tại F) có góc A chung nên ΔABE $\backsim $ ΔACF => $\frac{AB}{AC}=\frac{A\text{E}}{AF}$ Xét tam giác AEF và tam giác ABC có: A chung và $\frac{AB}{AC}=\frac{A\text{E}}{AF}$ => \(\Delta AEF\backsim \Delta ABC\)(c.g.c) Khi tam giác ABC là tam giác tù, chẳng hạn góc A tù hoặc góc B tù, tương ứng ta có hai hình sau (HS tự vẽ)

Chứng minh tương tự, ta thấy kết quả vẫn  đúng. b) Theo định lí Pythagore, trong tam giác vuông ABE, ta có: \(A{{B}^{2}}=A{{E}^{2}}+B{{E}^{2}} \Rightarrow A{{E}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{E}^{2}} \\ ={{10}^{2}}-{{8}^{2}}=36\Rightarrow AE=6cm \) Theo kết quả câu a), ta có \(\Delta AEF\backsim \Delta ABC\Rightarrow \frac{EF}{AE}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow EF=\frac{BC.AE}{AB}=\frac{15.6}{10}=9(cm)\) Trả lời: EF = 9cm.