Đề bài

Có ba chiếc túi I, II và III. Túi I có chứa 5 viên bị trắng và 5 viên bị đen cùng kích thước, khối lượng. Túi II và III mỗi túi có chứa 2 viên bị trắng và 8 viên bị đen. Bạn Minh lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi một viên bi. Gọi X là số viên bị trắng lấy được. a) Lập bảng phân bố xác suất của X. b) Chứng minh rằng X không phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.

Lời giải chi tiết

a) X là số viên bị trắng lấy được. Các giá trị có thể có của X là {0, 1, 2, 3} Xác suất để lấy được 1 bi trắng ở các túi I, II, III lần lượt là 0,5; 0,2; 0,2. - Biến cố {X = 0} là biến cố không có bi trắng lấy được từ một trong ba túi \(P(X = 0) = 0,5.0.8.0,8 = 0,32\) - Biến cố {X = 1} là biến cố có bi trắng lấy được từ một trong ba túi \(P(X = 1) = 0,5.0,8.0,8 + 0,5.0,2.0,8 + 0,5.0,8.0,2 = 0,48\) - Biến cố {X = 2} là biến cố có bi trắng lấy được từ hai trong ba túi \(P(X = 2) = 0,5.0,2.0,8 + 0,5.0,8.0,2 + 0,5.0,2.0,2 = 0,18\) - Biến cố {X = 3} là biến cố có bi trắng lấy được từ cả ba túi \(P(X = 3) = 0,5.0,2.0,2 = 0,02\) Ta có bảng phân bố xác suất:

b) Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức. Khi đó, \(X \sim B(3,p)\) \(\begin{array}{l}P(X = 3) = C_3^3.{p^3} = {p^3} = 0,02 \Rightarrow p \approx 0,27\\P(X = 0) = C_3^0.{\left( {1 - p} \right)^3} = {0,73^3} = 0,389 \ne 0,32\end{array}\) Vậy X không là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.