Đề bài

Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: a) \(y = \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}}\);                                      b) \(y = \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}}\); c) \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{5}{2}} \right\}\). Ta có: • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ - }} \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ + }} \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} =  - \infty \) Vậy \(x = \frac{5}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} =  - \frac{3}{2};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} =  - \frac{3}{2}\) Vậy \(y =  - \frac{3}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Ta có: • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} =  + \infty \) Vậy \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = 3\) Vậy \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\). Ta có: • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} =  + \infty \) Vậy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} =  - 1\) Vậy \(y = 1\) và \(y =  - 1\) là các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.