Đề bài

ওCho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Đường thẳng AO cắt (O) và (O’) lần lượt tại hai điểm C, E (khác điểm A). Đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt tại hai điểm D, F (khác điểm A). Chứng minh:

a) C, B, F thẳng hàng;

ꦕb) Bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn;

c) A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE.

Lời giải chi tiết

a) Do AC và AF lần lượt là đường kính của đường tròn (O) và (O’) nên \(\widehat {ABC} = {90^o}\), \(\widehat {ABF} = {90^o}\). Suy ra C, B, F thẳng hàng. b) Ta có tam giác CDF và tam giác CEF nội tiếp đường tròn đường kính CF. Nên 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn. c) Ta có: \(\widehat {DCA} = \widehat {DBA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DA của đường tròn (O))   (1). Tương tự \(\widehat {ABE} = \widehat {AFE}\) và \(\widehat {DCE} = \widehat {DFE}\) (2). Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {DBA}\), do đó BA là phân giác của góc DBE. Ta có: \(\widehat {ADB} = \widehat {ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (O))   (3). Vì C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn nên CDEF là tứ giác nội tiếp. Do đó \(\widehat {ECF} = \widehat {EDF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF của đường tròn ngoại tiếp CDEF) hay \(\widehat {ACB} = \widehat {EDA}\)   (4). Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {ADB} = \widehat {EDA}\), do đó DA là phân giác của góc BDE. Mà BA cắt DA tại A nên A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE.