Đề bài

Một nhân viên đang sử dụng phần mềm để thiết kế khung của một ngôi nhà trong không gian \(Oxyz\) được minh hoạ như Hình 3. Cho biết \(OABC.DEFH\) là hình hộp chữ nhật và \(EMF.DNH\) là hình lăng trụ đứng. a) Tìm toạ độ của các điểm \(B,F,H\). b) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {ME} ,\overrightarrow {MF} \). c) Tính số đo \(\widehat {EMF}\).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {OA}  = \left( {6;0;0} \right),\overrightarrow {CB}  = \left( {{x_B};{y_B} - 4;{z_B}} \right)\). \(OABC\) là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {CB} \). \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 6\\{y_B} - 4 = 0\\{z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 6\\{y_B} = 4\\{z_B} = 0\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {6;4;0} \right)\). Giả sử \(F\left( {{x_F};{y_F};{z_F}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {A{\rm{E}}}  = \left( {0;0;4} \right),\overrightarrow {BF}  = \left( {{x_F} - 6;{y_F} - 4;{z_F}} \right)\). \(ABF{\rm{E}}\) là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {A{\rm{E}}}  = \overrightarrow {BF} \). \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_F} - 6 = 0\\{y_F} - 4 = 0\\{z_F} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 6\\{y_B} = 4\\{z_B} = 4\end{array} \right.\). Vậy \(F\left( {6;4;4} \right)\). Giả sử \(H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {O{\rm{D}}}  = \left( {0;0;4} \right),\overrightarrow {CH}  = \left( {{x_H};{y_H} - 4;{z_H}} \right)\). \(OCH{\rm{D}}\) là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {O{\rm{D}}}  = \overrightarrow {CH} \). \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} - 4 = 0\\{z_H} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} = 4\\{z_H} = 4\end{array} \right.\). Vậy \(H\left( {0;4;4} \right)\). b) \(\overrightarrow {ME}  = \left( {6 - 6;0 - 2;4 - 6} \right) = \left( {0; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {MF}  = \left( {6 - 6;4 - 2;4 - 6} \right) = \left( {0;2; - 2} \right)\). c) \(\cos \widehat {EMF} = \cos \left( {\overrightarrow {ME} ,\overrightarrow {MF} } \right) = \frac{{0.0 + \left( { - 2} \right).2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 0\) Vậy \(\widehat {EMF} = {90^ \circ }\).