Đề bài

Một người đang viết chương trình cho trò chơi đá bóng robot. Gọi A(-1;1), B(9;6), C(5;-3) là ba vị trí trên màn hình.

a) Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC. b) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC. c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {10;5} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {6; - 4} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4; - 9} \right)\). +) Đường thẳng AB nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {10;5} \right)\) làm phương trình chỉ phương và đi qua điểm \(A( - 1;1)\) nên có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 10t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\). +) Đường thẳng AC nhận vectơ \(\overrightarrow {AC}  = \left( {6; - 4} \right)\) làm phương trình chỉ phương và đi qua điểm \(A( - 1;1)\) nên có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 6t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\). +) Đường thẳng BC nhận vectơ \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4; - 9} \right)\) làm phương trình chỉ phương và đi qua điểm \(B\left( {9;6} \right)\) nên có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 4t\\y = 6 - 9t\end{array} \right.\). b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng AB và AC lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;3} \right)\). \(\cos \left( {AB,AC} \right) = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{4\sqrt {65} }}{{65}} \Rightarrow \left( {AB,AC} \right) = 60^\circ 15'\). Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và AC là \(60^\circ 15'\). c) Đường thẳng BC nhận vectơ \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4; - 9} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {9; - 4} \right)\) và đi qua \(B\left( {9;6} \right)\), suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng BC là: \(9.\left( {x - 9} \right) - 4\left( {y - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow 9x - 4y - 57 = 0\). Khoảng cách từ \(A( - 1;1)\) đến đường thẳng BC là: \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {9.\left( { - 1} \right) - 4.1 - 57} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{70\sqrt {97} }}{{97}}\).