Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Vẽ điểm M tùy ý trên (O). Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Điểm N di động trên đường nào khi M di động trên (O)?

Lời giải chi tiết

Đặt \(IO{\rm{ }} = {\rm{ }}d{\rm{ }}\left( {d{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0} \right).\)∆MOI có ON là đường phân giác, áp dụng tính chất đường phân giác, ta được: \(\frac{{NM}}{{NI}} = \frac{{OM}}{{OI}} = \frac{R}{d}\)Suy ra \(\frac{{NM}}{{NI}} + 1 = \frac{R}{d} + 1\)Khi đó \(\frac{{NM + NI}}{{NI}} = \frac{{R + d}}{d}\)Vì vậy \(\frac{{IM}}{{NI}} = \frac{{R + d}}{d}\)Suy ra \(\frac{{IN}}{{IM}} = \frac{d}{{R + d}}\)Do đó \(IN = \frac{d}{{R + d}}.IM\)Vì vậy \(\overrightarrow {IN}  = \frac{d}{{R + d}}.\overrightarrow {IM} \) (do \(\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {IM} \)  cùng hướng).Khi đó phép vị tự tâm I, tỉ số \(k = \frac{d}{{R + d}}\)  biến điểm M thành điểm N.Giả sử khi M ở vị trí sao cho ba điểm O, M, I thẳng hàng (tức là, \(\widehat {IOM} = 0^\circ \) )thì tia phân giác của góc MOI không thể cắt IM tại N.Tức là, điểm N không tồn tại.

Ta đặt \({M'_0} = {V_{\left( {I,\frac{d}{{R + d}}} \right)}}\left( {{M_0}} \right)\), với M₀🎀 là điểm nằm trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm \(O,{\rm{ }}{M_0},{\rm{ }}I\) thẳng hàng.

Vậy khi M chạy trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm O, M, I không thẳng hàng thì N chạy trên một đường tròn \(\left( {O';{\rm{ }}R'} \right)\) cố định là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép vị tự tâm I, tỉ số \(k = \frac{d}{{R + d}}\)  sao cho \(\;N{\rm{ }} \ne {\rm{ }}{M_0},\)  với M₀ဣ là điểm nằm trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm \(O,{\rm{ }}{M_0},{\rm{ }}I\) thẳng hàng