Đề bài

Bài 10(2.62). Bài toán cổ. Bác kia chăn vịt khác thường Buộc đi cho được chẵn hàng mới ra Hàng 2 xếp thấy chưa vừa Hàng 3 xếp vẫn còn thừa một con Hàng 4 xếp vẫn chưa tròn Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy Xếp thành hàng 7, đẹp thay Vịt bao nhiêu? Tính được ngay mới tài. (Biết số vịt chưa đến 200 con).

Lời giải chi tiết

Giả sử số vịt là n (con), khi đó n < 200.Hàng 2 xếp hàng chưa vừa nên n không chia hết cho 2 nên n là số lẻ (1)Hàng 3 vẫn thừa một con nên n chia 3 dư 1 (2)Hàng 4 vẫn xếp chưa tròn nên n không chia hết cho 4 (3)Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy nên \(\left( {n + 1} \right) \vdots 5\) (4)Xếp thành hàng 7 đẹp thay nên \(n \vdots 7\) (5)Từ (4) ta có \(n +  + 21 = \left( {n + 1} \right) + 20 \vdots 5\).Từ (5) ta có \(n + 21 \vdots 7\). Do ƯCLN(5,7)=1 nên \(n + 21 \vdots BCNN\left( {5,7} \right)\) tức là \(n + 21 \vdots 35\).Vì n < 200 nên n+21< 221, do đó \(n + 21 \in \left\{ {35;70;105;140;175;210} \right\}\)Suy ra \(n \in \left\{ {14;49;84;119;154;189} \right\}\).Từ (1) n là số lẻ nên \(n \in \left\{ {49;119;189} \right\}\)Từ (2) ta suy ra n = 49.Thử lại ta thấy đàn vịt có 49 con.