Đề bài

Cho tam giác ABC có \(AB = 3,AC = 4,\widehat {BAC} = {120^o}.\) Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị): a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B. b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp c) Diện tích của tam giác d) Độ dài đường cao xuất phát từ A e) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} \) với M là trung điểm của BC.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có: \(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {3^2} + {4^2} - 2.3.4.\cos {120^o}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 37\\ \Leftrightarrow BC \approx 6\end{array}\) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:  \(\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R\\ \Rightarrow \sin B = \frac{{AC.\sin A}}{{BC}} = \frac{{4.\sin {{120}^o}}}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow \widehat B \approx {35^o}\end{array}\) b) \(R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{6}{{2.\sin {{120}^o}}} = 2\sqrt 3 \) c) Diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}4.3.\sin {120^o} = 3\sqrt 3 .\) d) Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Ta có: \(S = \frac{1}{2}AH.BC\) \( \Rightarrow AH = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{2.3\sqrt 3 }}{6} = \sqrt 3 \) e) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 3.4.\cos (\widehat {BAC}) = 12.\cos {120^o} =  - 6.\) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \) (do M là trung điểm BC) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )\\ = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {{4^2} - {3^2}} \right) = \frac{7}{2}.\end{array}\)