Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, \(SA \) \( = a\sqrt 3 \) và vuông góc với đáy. Xác định và tính góc giữa: a) SB và (ABCD); b) SC và (ABCD); c) SD và (ABCD); d) SB và (SAC).

Lời giải chi tiết

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD). a) Ta có: \(\left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) \) \( = \left( {SB,AB} \right) \) \( = \widehat {SBA}\) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \) \( \Rightarrow SA \bot AB\). Do đó, tam giác SBA vuông tại A. Suy ra: \(\tan \widehat {SBA} \) \( = \frac{{SA}}{{AB}} \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} \) \( = \sqrt 3  \) \( \Rightarrow \widehat {SBA} \) \( = {60^0}\) b) Ta có: \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) \) \( = \left( {SC,AC} \right) \) \( = \widehat {SCA}\) Vì ABCD là hình vuông nên tam giác ACD vuông tại D. Suy ra: \(AC \) \( = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}}  \) \( = a\sqrt 2 \) (định lí Pythagore) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \) \( \Rightarrow SA \bot AC\). Do đó, tam giác SCA vuông tại A. Suy ra: \(\tan \widehat {SCA} \) \( = \frac{{SA}}{{AC}} \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 2 }} \) \( = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \) \( \Rightarrow \widehat {SCA} \) \( = 50,{8^0}\) c) Ta có: \(\left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right) \) \( = \left( {SD,AD} \right) \) \( = \widehat {SDA}\) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \) \( \Rightarrow SA \bot AD\). Do đó, tam giác SDA vuông tại A. Suy ra: \(\tan \widehat {SDA} \) \( = \frac{{SA}}{{AD}} \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} \) \( = \sqrt 3  \) \( \Rightarrow \widehat {SDA} \) \( = {60^0}\) d) Vì ABCD là hình vuông nên \(BO \bot AC\) Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \) \( \Rightarrow SA \bot BO\) nên \(BO \bot \left( {SAC} \right)\) Do đó, O là hình chiếu của B trên mặt phẳng (SAC) Do đó, \(\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) \) \( = \left( {SB,SO} \right) \) \( = \widehat {BSO}\) Tam giác SAB vuông tại A nên \(SB \) \( = \sqrt {A{B^2} + S{A^2}}  \) \( = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  \) \( = 2a\) (định lí Pythagore) Vì ABCD là hình vuông nên \(OB \) \( = \frac{1}{2}AC \) \( = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Tam giác SBO vuông tại O nên \(\sin \widehat {BSO} \) \( = \frac{{OB}}{{SB}} \) \( = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2.2a}} \) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \) \( \Rightarrow \widehat {BSO} \approx 20,{7^0}\)