Đề bài

Câu I: (3 điểm)

1. T🤡ính giá trị của biểu thức \(P = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)}^2}}  - \sqrt 7 \).

2. Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sa🎀u:

a) \({x^2} - 14x + 45 = 0\);

b) \(6x - 5 < x + 10\);

c) \(\le𓃲ft\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2🌳x + 3y =  - 5}\\{x - 3y = 11}\end{array}} \right.\).

3.

a) Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + 17x - 6 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(T = \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \righඣt)\).

b) Tìm tất cả các giá trị của tham 🌜số \(m\) để phương trình \({x^2} - 4x - m + 2 = 0\) vô nghiệm.

Câu II: (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, v༺ẽ đồ thị của hàm số \(y =  - {x^2}\).

Câu III: (1,5 điểm) Hai thành phố A và B cách nhau 200 km. Một ô tôꦿ di chuyển từ A đến B, rồi quay trở về A. Biết tốc độ lúc đi lớn hơn tốc độ lúc về là 10 km/h. Do đó, thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ. Tính tốc độ lúc đi của ô tô.

Câu IV: (1 điểm) 1. Một cơ sở chăn nuôi gia cầm♑ tiến hành nuôi thử nghiệm giống gà đẻ trứng mới. Khi gà đã cho trứng họ tiến hành khảo sát với 20 quả trứng được cân nặng (gam) như sau:

Lập bảng tần số cho mẫu số liệu trên.

2. Trong trò chơi “Chiếc nón kỳ diệu”, khi n🅺gười chơi quay ngẫu nhiên một lần, chiếc nón dừng lại tại một trong 19 ô hình quạt, mỗi ô tương ứng là số điểm,𝓡 trong đó có một số ô đặc biệt như hình bên và các ô có khả năng xảy ra như nhau. Hãy tính xác suất của biến cố A: “Người chơi quay trúng ô 100 điểm”.

Câu V: (1 điểm) Người ta cần sơn mặt bên trong của một chao đèn có dạng hình nón (kh𒊎ông t💃ính đáy) với bán kính đáy là 15cm và độ dài đường sinh là 25cm (tham khảo hình vẽ).

1. Hỏi diện tích cần sơn là bao nhiêu?

2. Tính khối lượng sơn cần dùng, biết rằng cứ sơn \(1c{m^2}\) thì hết \(0,015g\) sơn (kꦿết 🔜quả làm tròn đến hàng đơn vị của gam).

Câu VI: (2,5 điểm) 1. Một cái𓂃 thang dài 5 m được đặt dựa vào một bức tường sao cho góc tạo bởi thang và mặt đất bằng \({60^o}\) (tham khảo hình vẽ). Hỏi thang chạm vào tường ở độ cao h bằng bao nhiêu mét?

2. Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm M bất kì (M không trùng với O và B). Gọi H là trung đi😼ểm của đoạn thẳ𒉰ng AM. Qua H kẻ dây cung CD vuông góc với AM. Kẻ ME vuông góc với BC tại E.

a) Chứng minh MHCE là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác ACMD là hình thoi ▨và ba điểm E, M, D thẳng hàng.

----HẾT----

Lời giải

Câu I: (3 điểm)

1. Tính giá trị của biểu thức \(P = \sqrt {{{\left( {3 + \sq▨rt 7 } \right)}^2}}  - \sqrt 7 \)𒁃.

2. Giải phương trình, bất phương trì༺nh và hệ phương trình sau:

a) \({x^2} - 14x + 45 = 0\);

b) \(6x - 5 < x + 10\);

c) \(\left\{ {\begin{ar🦹ray}{*{20}{l}}{2x + 3y =  - 5}\\{x - 3y = 11}\end{array}} \rig🌄ht.\).

3.

a) Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\🎀) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + 17x - 6 = 0\). Không giải phương trình, tíಌnh giá trị của biểu thức \(T = \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\).

b) Tìm t💛ất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 4x - m + 2 = 0\) vô nghiệm.

Lời giải:

1.

\(\begin{array}{l}P = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)}^2}}  - \sqrt 7 \\P = \left| {3 + \sqrt 7 } \right| - \sqrt 7 \\P = 3 + \sqrt 7  - \sqrt 7 \\P = 3\end{array}\) Vậy giá trị biểu thức P là 3.

2.

a) Ta có \(\🐼Delta  = {\left( { - 14} \right)^2} - 4.45 = 16 > 0\) suy ra phương trì🌊nh có 2 nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{14 - \sqrt {16} }}{2} = 5\) và \({x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{14 + \sqrt {16} }}{2} = 9.\) Vậy phương trình \({x^2} - 14x + 45 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = 5\) và \({x_2} = 9.\)

b)

\(\begin{array}{l}6x - 5 < x + 10\\6x - x < 10 + 5\\5x < 15\\x < 3\end{array}\) Vậy bất phương trình có nghiệm \(x < 3\).

c)

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y =  - 5}\\{x - 3y = 11}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x = 6}\\{x - 3y = 11}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x - 3y = 11}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{2 - 3y = 11}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{3y =  - 9}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y =  - 3}\end{array}} \right.\end{array}\) Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 3} \right).\)

3.

a) Phương trìnhꦡ \🌊({x^2} + 17x - 6 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}.\)

Theo Viete, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 17\\{x_1}{x_2} =  - 6\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}T = \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\\T = {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1\\T =  - 6 + \left( { - 17} \right) + 1\\T =  - 22\end{array}\) Vậy giá trị biểu thức T là \( - 22.\).

b) Phương trình \({x^2} - 4x - m + 2 = 0\) có \(a = 1🐭;b =  - 4;c =  - m + 2\)

Suy ra \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.\left( { - m + 2} \right) = 16 + 4m - 8 = 4m + 8\) Để phương trình vô nghiệm thì \(\Delta  < 0\): \(\begin{array}{l}4m + 8 < 0\\4m <  - 8\\m <  - 2\end{array}\) Vậy \(m <  - 2\) thì phương trình \({x^2} - 4x - m + 2 = 0\) vô nghiệm.

Câu II: (1 điểm) Trong mặt phẳ🌜ng tọa độ Oxy, vẽ đồ thị c🐽ủa hàm số \(y =  - {x^2}\).

Lời giải:

Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm: \(O\,\left( {0;0} \right);A\left( { - 2; - 4} \right);\,\,B\left( { - 1; - 1} \right);C\left( {1; - 1} \right);\,\,D\left( {2; - 4} \right)\) Hệ số \(a =  - 1 < 0\) nên parabol có bề cong hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y =  - {x^2}\) như sau:

Câu III: (1,5 điểm) Hai thành phố A và B cách nhau 200 km. Một ô tô di chuy⛎ển từ A đến B, rồi quay trở về A. Biết tốc độ lúc đi lớn hơn tốc độ lúc về là 10 km/h. Do đó, thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ. Tính tốc độ lúc đi của ô tô.

Lời giải:

Gọi tốc độ lúc đi của ô tô là x (km/h; x > 10). Vì tốc độ lúc đi lớn hơn tốc độ lúc về là 10 km/h nên ta có tốc độ lúc về là x – 10 (km/h). Thời gian ô tô đi từ A đến B là \(\frac{{200}}{x}\) (giờ). Thời gian ô tô từ B trở về A là \(\frac{{200}}{{x - 10}}\) (giờ). Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{200}}{{x - 10}} - \frac{{200}}{x} = 1\) \(\frac{{200x}}{{x(x - 10)}} - \frac{{200(x - 10)}}{{x(x - 10)}} = \frac{{x(x - 10)}}{{x(x - 10)}}\) \(200x - 200(x - 10) = x(x - 10)\) \(200x - 200x + 2000 = {x^2} - 10x\) \({x^2} - 10x - 2000 = 0\) (*) Xét phương trình (*) có a = 1, b = -10, c = -2000: \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {( - 10)^2} - 4.1.( - 2000) = 8100 > 0\). Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 10) + \sqrt {8100} }}{{2.1}} = 50\) (thỏa mãn); \({x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 10) - \sqrt {8100} }}{{2.1}} =  - 40\) (loại). Vậy tốc độ lúc đi của ô tô là 50 km/h.

Câu IV: (1 điểm) 1. Một cơ sở chăn nuôi gia cầm tiến hành nuôi thử nghiệm giống gà đẻ trứng mới.ꦏ Khi gà đã cho trứng họ tiến hành khảo sát với 20 quả trứng được cân nặng ♚(gam) như sau:

Lập bảng tần số cho mẫu số liệu trên.

2. Trong trò chơi “Chiếc nón kỳ diệu”, khi người chơi quay ngẫu nhiên một lần, chiếc nón dừng lại tại một t📖rong 19 ô hình quạt, mỗi ô tương ứng là số điểm, trong đó có một số ô đặc biệt như hình bên và các ô có khả năng xảy ra như nhau. Hãy tính xác suất của biến cố A: “Người chơi quay trúng ô 100 điểm”.

Lời giải:

1. Bảng tần số cho mẫu số liệu trên là:

2. Có 19 kết qu🍃ả có thể khi quay ngẫ♈u nhiên chiếc nón.

Có 2 ô 100 điểm nên có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Người chơi quay trúng ô 100 điểm”. Xác suất của biến cố A: “Người chơi quay trúng ô 100 điểm” là: \(\frac{2}{{19}}\). Vậy xác suất của biến cố A: “Người chơi quay trúng ô 100 điểm” là \(\frac{2}{{19}}\).

Câu V: (1 điểm) Người ta cần sơn mặt bên trong của một chao đèn có dạng hình nón (⛄không tính đáy) với bán kính đáy là 15cm và độ dài đường sinh là 25cm (tham khảo hình vẽ).

1. Hỏi diện tích cần sơn là bao nhiêu?

2. Tính khối 🌠lượng sơn cần dùng, biết rằng cứ sơn \(1c{m^2}\) tﷺhì hết \(0,015g\) sơn (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của gam).

Lời giải:

1. Diện tích cần sơn là:

\(\pi rl = \pi .15.25 = 375\pi \left( {c{m^2}} \right)\) Vậy diện tích cần sơn là \(375\pi \,c{m^2}\).

2. Khối lượng sơn cần dùng𝕴 là: \(375\pi .0,015 = \frac{{45}}{8}\pi  \approx 18\left( g \right)\)

Vậy khối lượng sơn cần dùng khoảng \(18g\).

Câu IV: (2,5 điểm) 1. Một cái thang dài 5 m được đặt dựa vào một bức tường sao cho góc tạo b🌺ởi thang và mặt đất bằng \({60^o}\) (tham khảo hình vẽ). Hỏi thang chạm vào tường ở độ cao h bằng bao nhiêu mét?

2. Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm M bất kì (M không trùng với O và B). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AM. Qua H kẻ dây cuಌng CD vuông góc với AM. Kẻ ME vuông góc với BC tại E.

a) Chứng minh MHCE là tứ giác nội tiếp.

b) Ch🐻ứng minh tứ giác ACMD là hình thoi và ba điểm E, M, D thẳng hàng.

Lời giải:

1.

Đặt các điểm A, B, C như hình vẽ. Khi đó, ta có AC = 5 (m), \(\angle BCA = {60^o}\). Xét tam giác ABC vuông tại B, có \(\sin \angle BCA = \frac{{AB}}{{AC}}\). Suy ra \(AB = AC\sin \angle BCA = 5.\sin {60^o} = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\) (m) Vậy thang chạm vào tường ở độ cao \(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\,m\).

2.

a)

Ta có \(CD \bot AB\) tại H nên \(\Delta MCH\) vuông tại H Suy ra M, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính MC \(ME \bot BC\) tại E nên \(\Delta MEC\) vuông tại E Suy ra M, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính MC Vậy M, E, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính MC hay MHCE là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có \(OC = OD\) (cꦦùng là bán kính của (O)) nên \(\Delta OCD\) cân tại O có OH l🎃à đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến.

Suy ra \(H\) là trung điểm của CD hay \(HC = HD\) Xét tứ giác ACMD có H vừa là trung điểm của CD vừa là trung điểm của AM (gt) Suy ra tứ giác ACMD là hình bình hành (DHNB) Mà \(DC \bot AM\) tại H nên tứ giác ACMD là hình thoi Suy ra \(MD\parallel AC\) Mà \(\angle ACB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(AC \bot BC\) Suy ra \(MD \bot BC\) Mà \(ME \bot BC\left( {gt} \right)\) nên suy ra M, D, E thẳng hàng