Đề bài

Câu 1. (1,5 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức \(A = 2\sqrt {27}  + 5\sq🍷rtꦏ {12}  - 3\sqrt {48} \).

b) Rút gọn biểu thức \(B = \l𝕴eft( {\frac{1🍎}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right).\left( {x - 1} \right)\) với \(x \ge 0,x \ne 1\).

Câu 2. (0,5 điểm)

Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\).

Câu 3. (1,5 điểm)

a) Giải p𒁃hương trình \({x^2} + x - 6 = 0\)ಞ. (Không giải trực tiếp bằng máy tính)

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trìnꦿh \({x^2} - 5x + 6 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2\).

c) Tháng thứ nhất, cả h♚ai đội làm được 1200 sản phẩm. Tháng thứ hai, đội \(I\) làm vượt mức 20% và độ▨i \(II\) làm vượt mức 30% so với tháng thứ nhất. Vì vậy cả hai đội đã làm được 1525 sản phẩm. Hỏi tháng thứ nhất, mỗi đội làm được bao nhiêu sản phẩm?

Câu 4. (1,0 điểm)

Một công ty sữa muốn làm nhãn mác cho hộp đựng sữa có dạng hình trụ. Mỗi hộp sữa đó có đường kính đáy 20 cm và chiều cao 30 cm. Khi đó cần dùng bao nhiêu \({m^2}\) giấy để dán phủ kín mặt xung quanh của 50 hộp sữa? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 5. (3,0 điểm)

5.1. Tính giá trị biểu thức \(T = {\rm{sin}}30^\circ  + 2{\rm{cos}}30^\circ  - \frac🗹💃{5}{2}{\rm{tan}}45^\circ \).

5.2. Từ vị trí C của một tòa nhà cao 50 m, một tia sáng chiﷺếu xuống một ô tô đỗ tại vị trí B, góc tạo bởi tia sáng và phương nằm ngang là \(\widehat {CBA} = 30^\circ \) (như hì💝nh bên). Hỏi ô tô đỗ cách chân tòa nhà (ở vị trí A) là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

5.3. Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn♔ \(\left( O \right)\), kẻ các tiếp tuyến🍌 \(MA\) và \(MB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm).

a) Chứng minh: Bốn điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(OM\) và \(AB\). Kẻ đường kính \(AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Nối \(MC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\). Chứng minh: \(ME.MC = MH.MO\).

Câu 6 (1,5 điểm)

6.1. Gieo một xúc xắc 20 lần liên tiếp, ghi lại ꦦsố chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc, ta được mẫu số liệu thống kê sau:

Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đó.

6.2. Một hộp chứa 5 quả bóng có cùng khối lượng 💙và kích thước, được đánh số lần lượt từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc 2 q♊uả bóng từ trong hộp. Tính xác suất của biến cố \(A\): “Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn”.

Câu 7 (1,0 điểm)

Đến ngày 31/05/2024, gia đình Bác An đã tiết kiệm được số tiền là 20 triệu đồng. Sau thời điểm đó, mỗi tháng gia đình Bác An đều tiết kiệm được 3 triệu đồng. Gia đình Bác An dự định mua một chiếc xe SH Mode để sử dụng với giá tối thiểu là 66 triệu đồng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì gia đình Bác An có thể mua được chiếc xe SH Mode đó bằng số tiền tiết kiệm được?

----- HẾT -----

Lời giải

Câu 1. (1,5 điểm)

a) Tính giá trị biểu thứ🔥c \(A = 2\sqrt {27}  + 5\s♐qrt {12}  - 3\sqrt {48} \).

b) Rút gọn biểu thức \(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right).\left( {x - 1} \right)\) với \(x \✤ge 0,x \ne 1\).

Phương pháp:

a) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, thực hiện phép tính với biểu thức chứa căn. b) Quy đồng mẫu và thực hiện phép tính để rút gọn biểu thức.

Lời giải:

a) \(A = 2\sqrt {27}  + 5\sqrt {12}  - 3\sqrt {48} \) \( = 2\sqrt {3.9}  + 5\sqrt {3.4}  - 3\sqrt {16.3} \) \( = 2\sqrt {{{3.3}^2}}  + 5\sqrt {{{3.2}^2}}  - 3\sqrt {{4^{2.3}}} \) \( = 2.3\sqrt 3  + 5.2\sqrt 3  - 3.4.\sqrt 3 \) \( = 6\sqrt 3  + 10\sqrt 3  - 12\sqrt 3  = 4\sqrt 3 \) Vậy \(A = 4\sqrt 3 \) b) ĐK: \(x \ge 0,x \ne 1\) \(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right)\left( {x - 1} \right)\) \(B = \left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right)\left( {x - 1} \right)\) \(B = \frac{{\sqrt x  + 1 + \sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)\) \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)\) \(B = 2\sqrt x \) Vậy \(B = 2\sqrt x \) với \(x \ge 0,x \ne 1\)

Câu 2. (0,5 điểm)

Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\).

Phương pháp:

Lập bảng giá trị. Xác định toạ độ các điểm thuộc đồ thị. Vẽ đồ thị hàm số đi qua các điểm đó.

Lời giải:

Ta có bảng giá trị sau:

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right);A\left( { - 2;2} \right);B\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right);C\left( {1;\frac{1}{2}} \right);D\left( {2;2} \right)\). Hệ số \(a = \frac{1}{2} > 0\) nên parabol có bề lõm hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

Câu 3. (1,5 điểm)

a) Giải phương trình \({x^2} + x - 6 = 0\). (Không🥂 giải trực t💝iếp bằng máy tính)

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\). Không giải phương tr𒁏ình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = 3x_1^2{x_2} + ♛3{x_1}x_2^2\).

c) Tháng thứ nhất, cả hai đội làm được 1200 sản phẩm. Tháng thứ hai, đội \(I\) làm v꧟ượt mức 20% và đội \(II\) làm vượt mức 30% s🧸o với tháng thứ nhất. Vì vậy cả hai đội đã làm được 1525 sản phẩm. Hỏi tháng thứ nhất, mỗi đội làm được bao nhiêu sản phẩm?

Phương pháp:

a) Tính \(\Delta \). Chứng minh \(\Delta  > 0\). Suy ra hai nghiệm phân biệt của phương trình. b) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt. Sử dụng định lí Viète để tính tổng và tích của hai nghiệm. Biến đổi A để xuất hiện tổng, tích của hai nghiệm. c) Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm đội thứ I và đội thứ II làm được ở tháng thứ nhất (sản phẩm) (\(x,y \in \mathbb{N};x,y < 1200\)) Tháng thứ nhất, cả hai đội làm được 1200 sản phẩm nên ta lập được một phương trình. Tháng thứ hai, cả hai đội đã làm được 1525 sản phẩm nên ta lập được một phương trình. Lập hệ phương trình. Giải hệ phương trình để tìm \(x,y\).

Lời giải:

a) Ta có: \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 1 + 24 = 25 > 0\) Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ - 1 + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 2\) và \({x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ - 1 - \sqrt {25} }}{{2.1}} =  - 3\) Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = 2\) và \(x =  - 3\). b) Phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Áp dụng định lí Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = 5}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = 6}\end{array}} \right.\) (I) \(A = 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2\) \(A = 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\) Thay (I) vào biểu thức A ta có: \(A = 3.6.5 = 90\) Vậy \(A = 90\). c) Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm đội thứ I và đội thứ II làm được ở tháng thứ nhất (sản phẩm) (\(x,y \in \mathbb{N};x,y < 1200\)) Tháng thứ nhất, cả hai đội làm được 1200 sản phẩm nên ta có: \(x + y = 1200\) (1) Tháng thứ hai, đội I làm vượt mức 20% nên đội I làm được: \(x + 20{\rm{\% }}x = 1,2x\) (sản phẩm) Đội II làm vượt mức 30% so với tháng thứ nhất nên đội II làm được: \(y + 30{\rm{\% }}y = 1,3y\) (sản phẩm) Tháng thứ hai, cả hai đội đã làm được 1525 sản phẩm nên \(1,2x + 1,3y = 1525\) (2) Từ (1) và (2) có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1200}\\{1,2x + 1,3y = 1525}\end{array}} \right.\) Giải hệ phương trình ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 350}\\{y = 850}\end{array}} \right.\) (thoả mãn điều kiện) Vậy ở tháng thứ nhất đội thứ I làm được 350 sản phẩm và đội thứ II làm được 850 sản phẩm.

Câu 4. (1,0 điểm)

Một công ty sữa muốn làm nhãn mác cho hộp đựng sữa có dạng hình trụ. Mỗi hộp sữa đó có đường kính đáy 20 cm và chiều cao 30 cm. Khi đó cần dùng bao nhiêu \({m^2}\) giấy để dán phủ kín mặt xung quanh của 50 hộp sữa? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Phương pháp:

Tính bán kính đáy hộp sữa = đường kính : 2. Tính diện tích xung quanh của một hộp sữa. Tính diện tích xung quanh của 50 hộp sữa = số giấy cần dùng để phủ kín mặt xung quanh của 50 hộp sữa.

Lời giải:

Độ dài bán kính đáy hộp sữa là: \(\frac{{20}}{2} = 10\) (cm). Diện tích xung quanh 1 hộp sữa là: \({S_{xq}} = 2\pi .10.30 = 600\pi \) (cm²). Diện tích xung quanh 50 hộp sữa là: \(50.{S_{xq}} = 50.600\pi  = 30000\pi \) (cm²). Đổi đơn vị: \(30000\pi \) cm² \( = 3\pi \) m². Vậy số giấy cần dùng để phủ kín mặt xung quanh của 50 hộp sữa là \(3\pi  \approx 9,4\) m².

Câu 5. (3,0 điểm)

5.1. Tính giá trị biểu thức \(T = {\rm{sin}}30^\circ  + 2{\rm{cos}}30^\circ  - \frac{5}{2}{\rm{tan}}45^\ꦬci꧟rc \).

5.2. Từ vị trí C của một tòa nhà cao 50🅰 m, một tia sáng chiếu xuống một ô tô đỗ tại vị 🥂trí B, góc tạo bởi tia sáng và phương nằm ngang là \(\widehat {CBA} = 30^\circ \) (như hình bên). Hỏi ô tô đỗ cách chân tòa nhà (ở vị trí A) là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

5.3. Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), kẻ các tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) với đường tròn \(\left( 𒐪O \right)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm).

a) Chứng minh: Bốn điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(OM\) và \(AB\). Kẻ đường kính \(AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Nối \(MC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\). Chứng minh: \(ME.MC = MH.MO\).

Phương pháp:

5.1. Tính giá tr𝐆ị của các tỉ số lượng giác rồi tính giá trị🉐 của biểu thức.

5.2. Khoảng cách ô tô và chân toà nhà chính là độ dàꦗi đoạn AB𓆏.

Sử dụng hệ thức lượng để tìm AB.

5.3. a) Chứng minh dựa vào kiến thức về tam giác vuông nội ti🦩ếp đường tròn đường kính là cạn♊h huyền của tam giác.

b) Chứng minh \(\angle MAE = \angle MCA\) Chứng minh A, H, E, M cùng thuộc đường tròn đường kính AM suy ra \(\angle MAE = \angle MHE\) Suy ra \(\angle MHE = \angle MCO\) Chứng minh $\Delta MHE\backsim \Delta MCO$ nên \(\frac{{MH}}{{MC}} = \frac{{ME}}{{MO}}\) hay \(ME.MC = MH.MO\).

Lời giải:

5.1.

\(T = {\rm{sin}}30^\circ  + 2{\rm{cos}}30^\circ  - \frac{5}{2}{\rm{tan}}45^\circ \) \(T = \frac{1}{2} + 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{5}{2}.1\) \(T = \frac{1}{2} + \sqrt 3  - \frac{5}{2}\) \(T = \sqrt 3  - \frac{4}{2}\) \(T = \sqrt 3  - 2\) Vậy \(T = \sqrt 3  - 2\).

5.2.

Trong tam giác ABC vuông tại A có \(AB = AC.{\rm{cot}}30^\circ  = 50.\sqrt 3  \approx 87\) (m) Vậy ô tô đỗ cách chân tòa nhà 87m.

5.3.

a) Ta có: $\angle MAO=90{}^\circ $ (do MA là tiếp tuyến của (O)) Do đó M, A, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM (1) $\Delta MBO$ vuông tại B (do MB là tiếp tuyến của (O)) Do đó M, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2) Từ (1) và (2) ta suy ra M, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM. b) Ta có: $\angle MAE+\angle EAC=\angle MAC=90{}^\circ $ $\angle EAC+\angle ECA=90{}^\circ $ (do tam giác AEC nội tiếp đường tròn đường kính AC) Suy ra $\angle MAE=\angle MCA$ (3) Lại có: MA = MB (do MA, MB là tiếp tuyến của (O)) OA = OB (bán kính) Suy ra OM là đường trung trực của AB tại trung điểm H của AB Khi đó $\angle MHA=90{}^\circ $ nên M, A, H cùng thuộc đường tròn đường kính AM Ta có: $\Delta AEM$ vuông tại E nên M, A, E cùng thuộc đường tròn đường kính AM Do đó A, H, E, M cùng thuộc đường tròn đường kính AM Suy ra $\angle MAE=\angle MHE$ (4) Từ (3), (4) ta suy ra $\angle MHE=\angle MCO$ Xét $\Delta MHE$ và $\Delta MCO$ có $\angle MHE=\angle MCO$ (cmt) $\angle CMO$ chung Suy ra $\Delta MHE\backsim \Delta MCO$ nên $\frac{MH}{MC}=\frac{ME}{MO}$ hay $ME.MC=MH.MO$ (đpcm)

Câu 6 (1,5 điểm)

6.1. Gieo một xúc xắc 20 lần liên tiế༒p, ghi lại số chấ🌸m trên mặt xuất hiện của xúc xắc, ta được mẫu số liệu thống kê sau:

Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đó.

6.2. Một hộp chứa 5 quả bóng có cùng khối lượng và kích thước, được đán𒀰h số lần lượt từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc 2 quả bóng từ trong hộp. Tính xác suất của biến cố \(A\): “Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn”.

Phương pháp:

6.1. Lập bảng tần số.

Xác định tần số tương đối của các giá trị: \({f_1} = \frac{{{x_1}}}{n}.100\% \) (\({f_1}\) là tần số tương đối của giá trị 1, \({x_1}\) là tần số, \(n\) là cỡ mẫu) Lập bảng tần số tương đối.

6.2. Xác định số phần tử của không gian mẫu.

Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A. Xác suất của biến cố A = số kết quả thuận lợi của biến cố / số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải:

6.1.

Ta có bảng tần số sau:

Tần số tương đối của số chấm 1 là: \(\frac{2}{{20}}.100{\rm{\% }} = 10{\rm{\% }}\). Tần số tương đối của số chấm 2 là: \(\frac{4}{{20}}.100{\rm{\% }} = 20{\rm{\% }}\). Tần số tương đối của số chấm 3 là: \(\frac{3}{{20}}.100{\rm{\% }} = 15{\rm{\% }}\). Tần số tương đối của số chấm 4 là: \(\frac{3}{{20}}.100{\rm{\% }} = 15{\rm{\% }}\). Tần số tương đối của số chấm 5 là: \(\frac{3}{{20}}.100{\rm{\% }} = 15{\rm{\% }}\). Tần số tương đối của số chấm 6 là: \(\frac{5}{{20}}.100{\rm{\% }} = 25{\rm{\% }}\). Ta có bảng tần số tương đối sau:

6.2.

Không gian mẫu của phép thử là: \(\Omega  = \left\{ {\left( {1;2} \right),\left( {1;3} \right),\left( {1;4} \right),\left( {1;5} \right),\left( {2;3} \right),\left( {2;4} \right),\left( {2;5} \right),\left( {3;4} \right),\left( {3;5} \right),\left( {4;5} \right)} \right\}\) Không gian mẫu của phép thử có 10 phần tử. Các kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất một quả bóng ghi số chẵn” là: (1;2), (1;4), (2;3), (2;4), (2;5), (3;4), (4;5) Có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố A. Xác suất của biến cố A là: \(\frac{7}{{10}}\). Vậy xác suất của biến cố A: “Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất một quả bóng ghi số chẵn” là \(\frac{7}{{10}}\).

Câu 7 (1,0 điểm)

Đến ngày 31/05/2024, gia đình Bác An đã tiết kiệm được số tiền là 20 triệu đồng. Sau thời điểm đó, mỗi tháng gia đình Bác An đều tiết kiệm được 3 triệu đồng. Gia đình Bác An dự định mua một chiếc xe SH Mode để sử dụng với giá tối thiểu là 66 triệu đồng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì gia đình Bác An có thể mua được chiếc xe SH Mode đó bằng số tiền tiết kiệm được?

Phương pháp:

Gọi số tháng mà gia đình Bác An cần tiết kiệm tiền để đủ mua xe là x (tháng), \(x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) Biểu diễn số tiền bác An tiếp kiệm được sau x tháng. Bác An dự định mua một chiếc SH Mode với giá tối thiểu là 66 triệu đồng nên ta lâp được bất phương trình biểu diễn số tiền tiết kiệm của bác An \( \ge 66\). Giải bất phương trình để tìm \(x\).

Lời giải:

Gọi số tháng mà gia đình Bác An cần tiết kiệm tiền để đủ mua xe là x (tháng), \(x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) Mỗi tháng bác An đều tiết kiệm được 3 triệu đồng, nên x tháng bác An tiết kiệm được 3x triệu đồng. Để mua một chiếc SH Mode với giá tối thiểu là 66 triệu đồng thì \(20 + 3x \ge 66\) \(3x \ge 46\) \(x \ge \frac{{46}}{3} \approx 15,3\) Mà \(x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\), x nhỏ nhất nên \(x = 16\). Như vậy sau ít nhất 16 tháng thì gia đình bác An có thể mua được chiếc xe SH Mode đó bằng số tiền tiết kiệm.