Đề bài

Câu 1: (1,25 điểm) 1) Giải phương trình \({x^2} + 8x - 9 = 0\).

2) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 5\\2x + 5y = 25\end{array} \right.\). 3) Giải bất phương trình \(6x - 36 \ge 0\).

Câu 2: (2,5 điểm) 1) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\).

2) Thời gian đọc sách ở thư viện (đơn vị phút) trong một ngày thứ sáu của các học sinh tổ I được thống kê ở bảng sau:

Tính tần số tương đối ghép nhóm và lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu trên. 3) Một nhóm có 5 học sinh gồm 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ chuẩn bị thuyết trình về chủ đề bài học. Cô giáo chọn ngẫu nhiên hai bạn của nhóm đó lên thuyết trình trước lớp. Tính xác suất của biến cố \(A\): "Hai học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ".

Câu 3: (2,5 điểm) 1) Chứng tỏ phương trình \({x^2} + 7x - 5 = 0\🌳) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(M = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\).

2) Hưởng ứng phong trào “Đồng hành cùng học sinh vùng khó khăn” của nhà trường, lớp 9A theo kế hoạch cần phải gói 600 phần quà tặng giống nhau trong một số giờ quy định. Khi thực hiện, do tăng năng suất nên mỗi giờ lớp 9A gói được nhiều hơn 30 phần quà tặng, vì thế lớp 9A đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ lớp 9A phải gói bao nhiêu phần quà tặng (biết năng suất gói quà tặng của lớp 9A trong mỗi giờ là bằng nhau)? 3) Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\frac{6}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{6}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2x}}{{x - 1}}} \right):\frac{2}{{x - 1}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 1\)) và chứng tỏ \(P \le 9\), với mọi \(x \ge 0,x \ne 1\).

Câu 4: (1 điểm) 1) Tại một thời điểm, các tia năng mặt trời tạo với mặt đất một góc \(\angle BCA = {57^0}\) và cột đèn \(AB\) thẳng đứng có bóng trên mặt đất là đoạn thẳng \(AC = 4,5\;m\) (xem hình bên). Tính chiều cao \(AB\) của cột đèn đó (kết quả ✱làm tròn đến hàng phần mười của mét).

2) Một chiếc mũ chú hề được làm bằng giấy gồm phần vành mũ có dạng hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn lớn và đường tròn nhỏ có bán kính lần lượt bằng 22 cm và 10 cm; phần thân mũ có dạng hình nón, không đáy, gắn vào vành mũ (đường tròn đáy của thân mũ trùng với đường tròn nhỏ của vành mũ) và có độ dài đường sinh bằng 36 cm (xem hình bên).

Tính tổng diện tích giấy làm chiếc mũ chú hề đó (theo centimét vuông, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, lấy \(\pi  \approx 3,141\) và bỏ qua phần giấy gắn kết, hao hụt).

Câu 5: (2,75 điểm)  Cho tam giác nhọn ABC (với \(AB < AC\)) có hai đường 🥃cao BE, CF ꦕcắt nhau tại điểm H.

1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. 2) Gọi I là giao điếm của hai đường thẳng AH và EF. Chứng minh rằng \(IA \cdot IH = IE \cdot IF\). 3) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng đi qua điểm H vuông góc với AM, cắt cung nhỏ \(CE\) của đường tròn đường kính BC tại điểm K. Chứng minh AK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

-------- Hết --------

Lời giải

Câu 1: (1,25 điểm) 1) Giải phương trình \({x^2} + 8x - 9 = 0\).

2) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 5\\2x + 5y = 25\end{array} \right.\). 3) Giải bất phương trình \(6x - 36 \ge 0\).

Lời giải:

1) \({x^2} + 8x - 9 = 0\) Ta có \(a + b + c = 1 + 8 + ( - 9) = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x = 1\) và \(x =  - 9\) Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 1\) và \(x =  - 9\). 2) Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 5\\2x + 5y = 25\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x = 30\\x - 5y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\10 - 5y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\) Vậy nghệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {10;1} \right)\) 3) Ta có: \(\begin{array}{l}6x - 36 \ge 0\\6x \ge 36\\x \ge 6\end{array}\) Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \ge 6\).

Câu 2: (2,5 điểm) 1) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\).

2) Thời gian đọc sách ở thư viện (đơn vị phút) trong một ngày thứ sáu của các học sinh tổ I được thống kê ở bảng sau:

Tính tần số tương đối ghép nhóm và lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu trên. 3) Một nhóm có 5 học sinh gồm 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ chuẩn bị thuyết trình về chủ đề bài học. Cô giáo chọn ngẫu nhiên hai bạn của nhóm đó lên thuyết trình trước lớp. Tính xác suất của biến cố \(A\): "Hai học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ".

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O\,\left( {0;0} \right);A\left( { - 2;2} \right);B\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right);\,\,C\left( {1;\frac{1}{2}} \right);\,\,D\left( {2;2} \right)\) Hệ số \(a = \frac{1}{2} > 0\)nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

b) Ta có \(N = 2 + 5 + 3 = 10\) Tần số của từng nhóm: - Nhóm [15;25): \(h = \frac{2}{{10}} = 0,2\) - Nhóm [25;35): \(h = \frac{5}{{10}} = 0,5\) - Nhóm [35;45): \(h = \frac{3}{{10}} = 0,3\) Bảng tần số tương đối:

c) Giả sử 3 học sinh nam là A, B, C và 2 học sinh nữ là M, N Các trường hợp chọn ra 2 bạn trong 5 bạn A, B, C, M, N gồm: \(\left( {A,B} \right);\left( {A,C} \right);\left( {A,M} \right);\left( {A,N} \right);\left( {B,C} \right);\left( {B,M} \right);\left( {B,N} \right);\left( {C,M} \right);\left( {C,N} \right),\left( {M,N} \right)\) Vậy có tất cả 10 cách chọn ra 2 bạn bất kì Các trường hợp chọn ra 2 bạn trong đó có 1 bạn nam và 1 bạn nữ là: \(\left( {A,M} \right);\left( {A,N} \right);\left( {B,M} \right);\left( {B,N} \right);\left( {C,M} \right);\left( {C,N} \right)\) Suy ra có 6 cách chọn ra 2 bạn trong đó có 1 bạn nam và 1 bạn nữ Vậy xác suất để chọn ra 2 bạn sao cho có 1 nam và 1 nữ là \(\frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\)

Câu 3: (2,5 điểm) 1) Chứng tỏ phương trình \({x^2} + 7x - 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).♏ Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(M = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\).

2) Hưởng ứng phong trào “Đồng hành cùng học sinh vùng khó khăn” của nhà trường, lớp 9A theo kế hoạch cần phải gói 600 phần quà tặng giống nhau trong một số giờ quy định. Khi thực hiện, do tăng năng suất nên mỗi giờ lớp 9A gói được nhiều hơn 30 phần quà tặng, vì thế lớp 9A đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ lớp 9A phải gói bao nhiêu phần quà tặng (biết năng suất gói quà tặng của lớp 9A trong mỗi giờ là bằng nhau)? 3) Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\frac{6}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{6}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2x}}{{x - 1}}} \right):\frac{2}{{x - 1}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 1\)) và chứng tỏ \(P \le 9\), với mọi \(x \ge 0,x \ne 1\).

Lời giải:

1) Phương trình \({x^2} + 7x - 5 = 0\) có \(a = 1;b = 7;c =  - 5\). Ta có \(ac = 1.\left( { - 5} \right) =  - 5 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Áp dụng định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{7}{1} =  - 7\\{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 5}}{1} =  - 5\end{array} \right.\) Ta có: \(M = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 7}}{{ - 5}} = \frac{7}{5}\). Vậy phương trình \({x^2} + 7x - 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) và \(M = \frac{7}{5}\). 2) Gọi số phần quà tặng mỗi giờ lớp 9A phải gói theo kế hoạch là \(x\) (phần quà, \(x \in {\mathbb{N}^*}\)) Theo kế hoạch, lớp 9A cần phải gói 600 sản phẩm nên thời gian lớp 6A gói theo kế hoạch là \(\frac{{600}}{x}\) (giờ) Thực tế mỗi giờ lớp 9A gói được nhiều hơn 30 phần quà nên số phần quà mỗi giờ lớp 9A gói được thực tế là \(x + 30\) (phần quà) Khi đó thời gian lớp 9A gói thực tế là: \(\frac{{600}}{{x + 30}}\) (giờ) Vì lớp 9A đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 giờ nên ta có phương trình: \(\begin{array}{l}\frac{{600}}{x} - \frac{{600}}{{x + 30}} = 1\\\frac{{600\left( {x + 30} \right)}}{{x\left( {x + 30} \right)}} - \frac{{600x}}{{x\left( {x + 30} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 30} \right)}}{{x\left( {x + 30} \right)}}\\600x + 18000 - 600x = {x^2} + 30x\\{x^2} + 30x - 18000 = 0\end{array}\) Giải phương trình, ta được: \({x_1} = 120\left( {TM} \right);{x_2} =  - 150\left( {KTM} \right)\) Vậy số phần quà tặng mỗi giờ lớp 9A phải gói theo kế hoạch là 120 phần quà. 3) ĐK: \(x \ge 0,x \ne 1\) \(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{6}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{6}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2x}}{{x - 1}}} \right):\frac{2}{{x - 1}}\\ = \left[ {\frac{{6\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{6\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right]:\frac{2}{{x - 1}}\\ = \frac{{6\sqrt x  - 6 + 6\sqrt x  + 6 - 2x}}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{2}\\ = \frac{{12\sqrt x  - 2x}}{2}\\ = \frac{{2\sqrt x \left( {6 - \sqrt x } \right)}}{2}\\ = \sqrt x \left( {6 - \sqrt x } \right)\end{array}\) Ta có: \(\begin{array}{l}P = \sqrt x \left( {6 - \sqrt x } \right)\\ =  - x + 6\sqrt x \\ =  - (x - 6\sqrt x  + 9) + 9\\ =  - {(\sqrt x  - 3)^2} + 9\end{array}\) Vì \( - {(\sqrt x  - 3)^2} \le 0\) với mọi \(x \ge 0,x \ne 1\) nên \( - {(\sqrt x  - 3)^2} + 9 \le 9\) Vậy \(P = \sqrt x \left( {6 - \sqrt x } \right)\) và \(P \le 9\) với mọi \(x \ge 0,x \ne 1\).

Câu 4: (1 điểm) 1) Tại một thời điểm, các tia năng mặt trời tạo với mặt đất một góc \(\angle BCA = {57^0}\) và cột đèn \(AB\) thẳng đứng có bóng 🎉trên mặt đất là đoạn thẳng \(AC = 4,5\;m\) (xem hình bên). Tính chiều cao \(AB\) của cột đèn đó (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của mét).

2) Một chiếc mũ chú hề được làm bằng giấy gồm phần vành mũ có dạng hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn lớn và đường tròn nhỏ có bán kính lần lượt bằng 22 cm và 10 cm; phần thân mũ có dạng hình nón, không đáy, gắn vào vành mũ (đường tròn đáy của thân mũ trùng với đường tròn nhỏ của vành mũ) và có độ dài đường sinh bằng 36 cm (xem hình bên).

Tính tổng diện tích giấy làm chiếc mũ chú hề đó (theo centimét vuông, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, lấy \(\pi  \approx 3,141\) và bỏ qua phần giấy gắn kết, hao hụt).

Lời giải:

1) Cột đèn \(AB\) thẳng đứng có bóng trên mặt đất là đoạn thẳng \(AC\) nên \(AB \bot AC\) tại \(A\) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(AB = AC.\tan \angle BCA = 4,5.\tan {57^0} \approx 6,9\,\,(m)\) Vật chiều cao \(AB\) của cột đèn đó khoảng \(6,9\,m.\) 2) Tổng diện tích làm chiếc mũ chú hề bằng diện tích của phần thân mũ (diện tích xung quanh hình nón) và diện tích phần vành mũ (diện tích hình vành khuyên). Diện tích của phần thân mũ là:

S_{thân mũ} = \(\pi rl \approx 3,141.10.36 = 1130,7﷽6\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích phần vành mũ là:

S_{vành mũ} = \(\pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right) \approx 3,141.\left( {{{22}^2} - {{10}^2}} \right) =☂ 1206,144\left( {c{m^2}} \right)\)

Tổng diện tích giấy làm chiếc mũ chú hề là:

S = S_{thân mũ} + S_{vành mũ =} \(1130,76 + 1206🎃,144 = 2336,904 \approx 2337\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy tổng diện tích giấy làm chiếc mũ chú hề là khoảng 2337\(c{m^2}\).

Câu 5: (2,75 điểm)  Cho tam giác 🌟nhọn ABC (với \(AB < AC\)) ಌcó hai đường cao BE, CF cắt nhau tại điểm H.

1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. 2) Gọi I là giao điếm của hai đường thẳng AH và EF. Chứng minh rằng \(IA \cdot IH = IE \cdot IF\). 3) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng đi qua điểm H vuông góc với AM, cắt cung nhỏ \(CE\) của đường tròn đường kính BC tại điểm K. Chứng minh AK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

Lời giải:

1)

Do \(BE \bot AC\) nên \(\Delta AEH\) vuông tại E. Suy ra A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH Tương tự \(\Delta AFH\) vuông tại F nên A, F, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH Vậy A, E, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. 2) Xét \(\Delta FIH\) và \(\Delta AIE\) có \(\angle FHI = \angle IEA\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AF) \(\angle FIH = \angle EIA\) (hai góc đối đỉnh) Suy ra \(\Delta FIH\backsim \Delta AIE\left( g.g \right)\) Khi đó \(\frac{{IF}}{{IA}} = \frac{{IH}}{{IE}}\) hay \(IE.IF = IH.IA\) (đpcm) 3)

Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm AH và P là giao điểm HK với AM Do \(\Delta BFC\) vuông tại F nên B, F, C cùng thuộc (M) Tương tự \(\Delta BEC\) vuông tại E nên B, E, C cùng thuộc (M) Kết hợp K thuộc (M) nên B, C, E, F, K cùng thuộc (M) Do \(HP \bot AM\left( {gt} \right)\) nên \(\Delta AHP\) vuông tại P nên P thuộc đường tròn đường kính AH Do N là trung điểm AH nên N là tâm đường tròn qua A, E, F, P, H. \(\Delta ABC\) có đường cao BE, CF cắt nhau tại H nên H là trực tâm. Suy ra \(AH \bot BC\) tại D Khi đó \(\angle NEM = {180^0} - \left( {\angle NEA + \angle MEC} \right) = {180^0} - \left( {\angle NAE + \angle MCE} \right) = {180^0} - {90^0} = {90^0}\) Suy ra \(\angle MEP = {90^0} - \angle PEN = {90^0} - \frac{{{{180}^0} - \angle ENP}}{2}\) (do \(\Delta NEP\) cân tại N và tổng 3 góc bằng \({180^0}\))                                                 \( = {90^0} - {90^0} + \frac{1}{2}\angle ENP = \angle EAP\) (cùng chắn cung PE) Vậy \(\angle MEP = \angle EAM\) Xét \(\Delta MEP\) và \(\Delta MAE\) có \(\angle MEP = \angle EAM\) và \(\angle EMA\) chung Suy ra $\Delta MEP\backsim \Delta MAE\left( g.g \right)$. Khi đó \(\frac{{ME}}{{MA}} = \frac{{MP}}{{ME}}\) hay \(MP.MA = M{E^2}\) Mà \(ME = MK\) (cùng bằng bán kính của (M)) nên \(MP.MA = M{K^2}\) hay \(\frac{{MK}}{{MA}} = \frac{{MP}}{{MK}}\) Xét \(\Delta MKP\) và \(\Delta MAK\) có \(\frac{{MK}}{{MA}} = \frac{{MP}}{{MK}}\) và \(\angle KMA\) chung nên $\Delta MKP\backsim \Delta MAK\left( c.g.c \right)$ Suy ra \(\angle MPK = \angle MKA = {90^0}\) hay \(MK \bot AK\) Xét \(\left( M \right)\) có \(K \in \left( M \right),AK \bot MK\) tại K nên AK là tiếp tuyến của \(\left( M \right)\)  (đpcm).