Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\), ta luôn có bất đẳng thức sau : \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} < 2\sqrt n \)

Lời giải chi tiết

+) Với \(n = 1\) ta có \(1 < 2\sqrt 1 \) .Vậy (1) đúng với \(n = 1\)+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} < 2\sqrt k \)+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh : \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \left( * \right)\)Theo giả thiết qui nạp ta có :\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\)Để chứng minh (*) ta cần chứng minh\(2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \)Thật vậy ta có :

\(\eqalign{
& 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \cr 
& \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} + 1 < 2\left( {k + 1} \right) \cr 
& \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} < 2k + 1 \cr 
♐& \Leftrightarrow 4k\left( {k + 1} \right) < {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr} \)

\( \Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1\)\(⇔ 0 < 1\) (luôn đúng) Vậy ta có (*) luôn đúng  tức (1) đúng với \(n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

 ufa999.cc