Đề bài

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy b. Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’

Lời giải chi tiết

 

a. Gọi M, N là trung điểm của AB, CD.G là trọng tâm tứ diện nên G là trung điểm của MN hay GM=GN.Trong mp(ABN) gọi A’ là giao điểm của AG với trung tuyến BN của ΔBCD.Ta chứng minh A' là trọng tâm tam giác BCD hay A’B = 2A’N.Áp dụng định lí Menelaus trong ΔBMN với cát tuyến AGA’ ta có :\({{AM} \over {AB}}.{{GN} \over {GM}}.{{A'B} \over {A'N}} = 1 \)\(\Rightarrow {1 \over 2}.1.{{A'B} \over {A'N}} = 1 \Rightarrow A'B = 2A'N\)Vậy A’ là trọng tâm của ΔBCDTương tự BG ,CG, DG lần lượt đi qua trọng tâm B’, C’, D’ của tam giác ACD, ABD, ABC.b. Chứng minh GA = 3GA’Áp dụng định lí Menelaus trong ΔABA’ với cát tuyến MGN ta có :\({{MA} \over {MB}}.{{GA'} \over {GA}}.{{NB} \over {NA'}} = 1 \)\(\Rightarrow 1.{{GA'} \over {GA}}.3 = 1 \)\(\Rightarrow GA = 3GA'\,\,\left( {dpcm} \right)\) 

ufa999.cc