Đề bài

Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3\) với mọi \(n ≥ 2\). Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi \(n ≥ 1\) ta có \({u_n} = {2^{n + 1}}-3\)   (1)

Lời giải chi tiết

+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = 1 = {2^2}-3\).Vậy (1) đúng với \(n = 1\)+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\) tức là ta có :  \({u_k} = {2^{k + 1}} - 3\)+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :\({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 3\)Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2\left( {{2^{k + 1}} - 3} \right) + 3 = {2^{k + 2}} - 3\)Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

ufa999.cc