Đề bài

Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = 60^\circ ,\widehat {BOC} = 90^\circ \) a. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông và OA ⊥ BC b. Tìm đường vuông góc chung IJ của OA và BC ; tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC. c. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ABC) và (OBC) vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

a. Vì \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = 60^\circ \)OA = OB = OC = aNên AB = AC = aSuy ra ΔABC = ΔOBCVậy tam giác ABC vuông cân tại AGọi J là trung điểm của BC thì OJ ⊥ BC, AJ ⊥ BC nên OA ⊥ BC.

Cách khác:

b. Gọi I là trung điểm của OA, do OJ = AJ nên JI ⊥ OA, mà JI ⊥ BC, vậy IJ là đường vuông góc chung của OA và BC.\(I{J^2} = O{J^2} - O{I^2} = {\left( {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} - {\left( {{a \over 2}} \right)^2} = {{{a^2}} \over 4}.\)Suy ra : d(OA ; BC) = \({a \over 2}\)c. Từ các kết quả trên ta có : OJ ⊥ BC, AJ ⊥ BC, IJ = \({1 \over 2}OA\)Vậy góc giữa mp(OBC) và mp(ABC) bằng góc \(\widehat {OJA}\) và \(\widehat {OJA} = 90^\circ ,\) do đó mp(OBC) ⊥ mp(ABC).

ufa999.cc