Đề bài

Cho tam giác MNP nhọn. Các trung tuyến ME, NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FD  = FN. a) Chứng minh rằng \(\Delta MFN = \Delta PFD\) b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm GH. Gọi K là trung điểm DP. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆MFN và ∆PFD có: MF = FP (F là trung điểm của MP)\(\widehat {MFN} = \widehat {PFD}\) (đối đỉnh)FN = FD (gt)Do đó: ∆MFN = ∆PFD (c.g.c).b) ∆MNP có hai đường trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G (gt)=> G là trọng tâm của ∆MNP \( \Rightarrow NG = {2 \over 3}NF\)Ta có: NF = FD (gt) và GF = FH (F là trung điểm của GH)=> NF – GF = FD – FH => NG = HDMà \(NG = {2 \over 3}NF\) và NF = FD (gt). Nên \(HD = {2 \over 3}FD\)∆MDP có DF là đường trung tuyến.(F là trung điểm của MP) và \(HD = {2 \over 3}DF\)Do đó H là trọng tâm của tam giác MDP.Mà MK là đường trung tuyến của ∆MDP (K là trung điểm của DP)Nên MK đi qua H => M, H, K thẳng hàng.

ufa999.cc