Cách 1:

Theo đề bài ta có $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$ và $\frac{{a + 45}}{b} = \frac{{13}}{{20}}$ Hay  $\frac{a}{b} + \frac{{45}}{b} = \frac{{13}}{{20}}$   (*) Thay phân số $\frac{a}{b}$ = $\frac{2}{5}$ vào (*) ta có: $\frac{2}{5} + \frac{{45}}{b} = \frac{{13}}{{20}}$ $\frac{{45}}{b} = \frac{{13}}{{20}} - \frac{2}{5} = \frac{5}{{20}} = \frac{{45}}{{180}}$ Vậy b = 180 Ta có \(\frac{a}{{180}} = \frac{2}{5}\) nên a = (180 : 5) x 2 = 72 Vậy phân số $\frac{a}{b}$ là $\frac{{72}}{{180}}$

Cách 2:

Quy đồng hai phân số $\frac{2}{5}$ và $\frac{{13}}{{20}}$ta được phân số $\frac{8}{{20}}$ và $\frac{{13}}{{20}}$. Hiệu của hai tử số là 13 – 8 = 5 Giá trị một phần là: 45 : 5 = 9 Tử số cần tìm là :  8 x 9 = 72 Mẫu số cần tìm là : 20 x 9 = 180 Vậy phân số $\frac{a}{b}$ là $\frac{{72}}{{180}}$