Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 60⁰๊. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SO = \frac{{3a}}{4}\). Gọi E là trung điểm của đoạn BC và F là trung điểm của đoạn BE.

a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải chi tiết

a) SO vuông góc với (ABCD) nên SO vuông góc với BC (1)

Ta có: ABCD là hình thoi, góc BAD = 60⁰ nên tam giác ABD đều. Suy ra BD = a

Nên BO =\(\frac{1}{2}a\)

Mà: BE = \(\frac{1}{2}a\), góc CBD = 60⁰

Suy ra tam giác BOE đềuMà F là trung điểm của BE. Nên OF vuông góc với BC (2)Từ (1) và (2) suy ra BC vuông góc với (SOF)Vậy (SBC) vuông góc với (SOF).b) Ta có: (SBC) vuông góc với (SOF)SF là giao tuyến của (SOF) và (SBC)Kẻ OJ vuông góc với SFSuy ra OJ là khoảng cách từ O đến (SBC)F là trung điểm BE nên BF = \(\frac{1}{4}a\)\(OF = \sqrt {O{B^2} - B{F^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{4}a} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}a\)\(\begin{array}{l}\frac{1}{{O{J^2}}} = \frac{1}{{O{F^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{4}a} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow JO = \frac{3}{8}a\end{array}\)(SAB) và (SBC) vuông gócKẻ AK vuông góc với SB nên AK là khoảng cách từ A đến (SBC)