Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. GỌi M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD. a) Chứng minh rằng \(\Delta MAB = \Delta MDC.\) b) Chứng minh rằng \(CD \bot AC.\) c) Gọi N là trung điểm của AC. Chứng minh rằng NB = ND. d) Cho \(\widehat {ABC} = {60^0}.\)  Chứng minh rằng \(\Delta MAB\) đều. Tinh AC khi biết AB = 8 cm.

Lời giải chi tiết

 

a)Xét tam giác MAB và MDC có:MA = MD (M là trung điểm của AD)MB = MC (M là trung điểm của BC)\(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\)   (hai góc đối đỉnh)Do đó: \(\Delta MAB = \Delta MDC(c.g.c).\)b) Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {DCM}(\Delta MAB = \Delta MDC)\)Mà góc ABM và DCM so le trong. Do đó: AB // CD.Ta có: \(AB \bot AC(\Delta ABC\)  vuông tại A) và AB // CD (chứng minh trên) \(\Rightarrow CD \bot AC.\)c) Xét tam giác ANB và CND ta có:AN = CN (N là trung điểm của AC)\(\eqalign{  & \widehat {BAN} = \widehat {NCD}( = {90^0})  \cr  & AB = CD(\Delta MAB = \Delta MDC) \cr} \)Do đó: \(\Delta ANB = \Delta CND(c.g.c) \Rightarrow NB = ND\)d) Xét tam giác ABC và CDA có:AB = CD\(\widehat {BAC} = \widehat {DCA}( = {90^0})\)AC là cạnh chung.Do đó: \(\Delta ABC = \Delta CDA(c.g.c) \Rightarrow BC = AD\)Mà \(MB = MC = {{BC} \over 2}\)   (M là trung điểm của BC)Và \(MA = MD = {{AD} \over 2}\)   (M là trung điểm của AD)Do đó: MB = MC = MA = MD.Tam giác MAB có MB = MA => tam giác MAB cân tại MMà \(\widehat {ABC} = {60^0}(gt)\)  . Do đó tam giác MAB đều => MB = AB = 8cm. Ta có: BC = 2MB = 2.8 = 16 (cm)Tam giác ABC vuông tại A\(\Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)   (định lí Pythagore)Do đó: \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {16^2} - {8^2} = 256 - 64 = 192\)Mà AC > 0. Vậy \(AC = \sqrt {192} (cm).\)

ufa999.cc