Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD) và AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng:

a) MN // (SCD);

b) DM // (SBC);

c) Lấy điểm I thuộc cạnh SD sao cho\(\frac{{SI}}{{SD}} = \frac{2}{3}\).Chứng minh rằng: SB // (AIC).

Lời giải chi tiết

a) Trong mp(SAB), xét DSAB có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giácDo đó MN // AB.Mà AB // CD (giả thiết) nên MN // CD.Lại có CD ⊂ (SCD) nên MN // (SCD).b) Theo câu a, MN là đường trung bình của ΔSAB nên MN = ½ABMà AB = 2CD hay CD = ½ ABDo đó MN = CD.Xét tứ giác MNCD có: MN // CD và MN = CD nên MNCD là hình bình hànhSuy ra DM // CNMà CN ⊂ (SBC) nên DM // (SBC)c) Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD.Do AB // CD, theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{OB}}{{DO}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{2}{1}\)Suy ra\(\frac{{OB}}{{DO + OB}} = \frac{2}{{1 + 2}} = \frac{2}{3}\) hay \(OB\frac{{OB}}{{DO}} = \frac{2}{3}\)• Trong mp(SDB), xét Δ∆SDB có \(\frac{{SI}}{{SD}} = \frac{{OB}}{{DB}} = \frac{2}{3}\) nên IO // SB (theo định lí Thalès đảo)Mà IO ⊂ (AIC) nên SB // (AIC).