Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng đường thẳng \({G_1}{G_2}\) song song với đường thẳng CD.

Lời giải chi tiết

Trong mặt phẳng ABC, kẻ trung tuyến AM của tam giác ABC. Vì \({G_1}\) là trọng tâm tam giác ABC nên \(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3}\). Trong mặt phẳng ABD, kẻ trung tuyến AN của tam giác ABN. Vì \({G_2}\) là trọng tâm tam giác ABC nên \(\frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{2}{3}\). Xét tam giác AMN, có \(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) nên \({G_1}{G_2}\)//MN (định lý Thales đảo). Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD nên MN là đường trung bình. Khi đó, MN//CD. Vậy \({G_1}{G_2}\)//CD (cùng song song với MN).