Đề bài

Cho tứ diện ABCD có \(AB \bot (BCD)\), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD (Hình 31). Chứng minh rằng:

a)     \(CD \bot (ABH)\) b)    \(CD \bot (ABK)\) c)     Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm

Lời giải chi tiết

a)     Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD\left( 1 \right)\)Có H là trực tâm của tam giác BCD \( \Rightarrow BH \bot CD\left( 2 \right)\)Tử (1) và (2) \( \Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right)\)b)    Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD\left( 1 \right)\)Có K là trực tâm của tam giác BCD \( \Rightarrow AK \bot CD\left( 2 \right)\)Từ (1) và (2) \( \Rightarrow CD \bot \left( {ABK} \right)\)c)     Ta có: \( CD \bot \left( {ABH} \right)\) và \(CD \bot \left( {ABK} \right)\). Mà theo tính chất 1, chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua A và B vuông góc với CD. Nên \(\left( {ABH} \right) \equiv \left( {ABK} \right)\). Ta có H là trực tâm của tam giác BCD nên BH giao với CD tại 1 điểm I, K là trực tâm của tam giác ACD nên AK giao với CD tại 1 điểm I'.Mà (ABHK) cắt CD tại 1 điểm thuộc CD.Nên I và I' trùng nhau hay AK, BH, CD cùng đi qua một điểm.