Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Góc giữa đường thẳng \(AC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^ \circ }\). a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và \(\left( {BDD'B'} \right)\) vuông góc với nhau. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD'\).

Lời giải chi tiết

a) \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot B{\rm{D}}\)\(BB' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BB' \bot AC\)\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AC \bot \left( {B{\rm{DD'B'}}} \right)\\AC \subset \left( {ACC'A'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {B{\rm{DD}}'B'} \right)\)b) \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AB\parallel C{\rm{D}}\)\(CDD'C'\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow C{\rm{D}}\parallel C'{\rm{D}}'\)\( \Rightarrow AB\parallel C'{\rm{D}}' \Rightarrow d\left( {AB,C'{\rm{D}}'} \right) = d\left( {B,C'{\rm{D}}'} \right)\)\(A'B'C'D'\) là hình vuông \( \Rightarrow C'D' \bot B'C'\)\(CDD'C'\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow C'D' \bot CC'\)\( \Rightarrow C'D' \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow C'D' \bot BC' \Rightarrow d\left( {B,C'{\rm{D}}'} \right) = BC'\)\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2 \)\(\begin{array}{l}CC' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {AC',\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {AC',AC} \right) = \widehat {CAC'} = {60^ \circ }\\ \Rightarrow CC' = AC.\tan \widehat {CAC'} = a\sqrt 6 \end{array}\) \(\Delta BCC'\) vuông tại \(C \Rightarrow BC{'^2} = \sqrt {B{C^2} + CC{'^2}}  = a\sqrt 7 \)Vậy \(d\left( {AB,C'{\rm{D}}'} \right) = a\sqrt 7 \).