Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = \left| x \right|\) không có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 0\), nhưng có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 0\)

Lời giải chi tiết

\(y = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,(x \ge 0)\\ - x\,\,\,(x < 0)\end{array} \right. \Rightarrow y' = \left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,(x \ge 0)\\ - 1\,\,\,(x < 0)\end{array} \right.\)Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y' = 1 \ne  - 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y'\)Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0