Đề bài

\(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và \(AC = a\). a) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\). b) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,D} \right]\). c) Biết \(SA = a\), tính số đo của góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB,SA \bot A{\rm{C}}\)Vậy \(\widehat {BA{\rm{C}}}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\)\(AB = BC = AC = a \Rightarrow \Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \widehat {BA{\rm{C}}} = \widehat {ABC} = {60^ \circ }\)Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\) bằng \({60^ \circ }\).b) \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB,SA \bot A{\rm{D}}\)Vậy \(\widehat {BA{\rm{D}}}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,D} \right]\)\(ABCD\) là hình thoi \( \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = {180^ \circ } - \widehat {ABC} = {180^ \circ } - {60^ \circ } = {120^ \circ }\)Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,D} \right]\) bằng \({120^ \circ }\).c) \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\)\(\Delta SAC\) vuông tại \(A \Rightarrow \tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^ \circ }\) Vậy \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^ \circ }\).